Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64537 / 27625
↖ ↑ ↗
← N 71.544917°
W  2.743835°		 ← 96.67 m → N 71.544917°
W  2.741089°		 →
↑
96.71 m
↓
↑
96.71 m
↓
N 71.544048°
W  2.743835°		 ← 96.67 m →
9 349 m²		 N 71.544048°
W  2.741089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492382049560547 y=0.210765838623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492382049560547 × 217)
    floor (0.492382049560547 × 131072)
    floor (64537.5)     		tx = 64537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210765838623047 × 217)
    floor (0.210765838623047 × 131072)
    floor (27625.5)     		ty = 27625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64537 / 27625 ti = "17/64537/27625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64537/27625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64537 ÷ 217
    64537 ÷ 131072     		x = 0.492378234863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27625 ÷ 217
    27625 ÷ 131072     		y = 0.210762023925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492378234863281 × 2 - 1) × π
    -0.0152435302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04788896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210762023925781 × 2 - 1) × π
    0.578475952148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.81733580149595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04788896} λ = -0.04788896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81733580149595))-π/2
    2×atan(6.15543727817776)-π/2
    2×1.40974534664329-π/2
    2.81949069328658-1.57079632675     		φ = 1.24869437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04788896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.743835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24869437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.544917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64537 KachelY 27625 -0.04788896 1.24869437 -2.743835 71.544917
    Oben rechts KachelX + 1 64538 KachelY 27625 -0.04784103 1.24869437 -2.741089 71.544917
    Unten links KachelX 64537 KachelY + 1 27626 -0.04788896 1.24867919 -2.743835 71.544048
    Unten rechts KachelX + 1 64538 KachelY + 1 27626 -0.04784103 1.24867919 -2.741089 71.544048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24869437-1.24867919) × R
    1.51799999998925e-05 × 6371000     		dl = 96.7117799993151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24869437-1.24867919) × R
    1.51799999998925e-05 × 6371000     		dr = 96.7117799993151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04788896--0.04784103) × cos(1.24869437) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.316561116071617 × 6371000     		do = 96.6657450226979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04788896--0.04784103) × cos(1.24867919) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.316575515359869 × 6371000     		du = 96.670142018589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24869437)-sin(1.24867919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316561116071617-0.316575515359869)×R²
    abs(-0.04784103--0.04788896)×1.43992882515875e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.43992882515875e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.43992882515875e-05×40589641000000     		ar = 9348.92888695656m²