Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64537 / 27623
↖ ↑ ↗
← N 71.546656°
W  2.743835°		 ← 96.66 m → N 71.546656°
W  2.741089°		 →
↑
96.71 m
↓
↑
96.71 m
↓
N 71.545786°
W  2.743835°		 ← 96.66 m →
9 348 m²		 N 71.545786°
W  2.741089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492382049560547 y=0.210750579833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492382049560547 × 217)
    floor (0.492382049560547 × 131072)
    floor (64537.5)     		tx = 64537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210750579833984 × 217)
    floor (0.210750579833984 × 131072)
    floor (27623.5)     		ty = 27623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64537 / 27623 ti = "17/64537/27623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64537/27623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64537 ÷ 217
    64537 ÷ 131072     		x = 0.492378234863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27623 ÷ 217
    27623 ÷ 131072     		y = 0.210746765136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492378234863281 × 2 - 1) × π
    -0.0152435302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04788896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210746765136719 × 2 - 1) × π
    0.578506469726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.81743167529519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04788896} λ = -0.04788896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81743167529519))-π/2
    2×atan(6.15602745162624)-π/2
    2×1.40976052091188-π/2
    2.81952104182377-1.57079632675     		φ = 1.24872472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04788896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.743835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24872472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.546656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64537 KachelY 27623 -0.04788896 1.24872472 -2.743835 71.546656
    Oben rechts KachelX + 1 64538 KachelY 27623 -0.04784103 1.24872472 -2.741089 71.546656
    Unten links KachelX 64537 KachelY + 1 27624 -0.04788896 1.24870954 -2.743835 71.545786
    Unten rechts KachelX + 1 64538 KachelY + 1 27624 -0.04784103 1.24870954 -2.741089 71.545786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24872472-1.24870954) × R
    1.51800000001145e-05 × 6371000     		dl = 96.7117800007298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24872472-1.24870954) × R
    1.51800000001145e-05 × 6371000     		dr = 96.7117800007298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04788896--0.04784103) × cos(1.24872472) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.316532326762097 × 6371000     		do = 96.6569538607004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04788896--0.04784103) × cos(1.24870954) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.316546726196189 × 6371000     		du = 96.6613509011257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24872472)-sin(1.24870954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316532326762097-0.316546726196189)×R²
    abs(-0.04784103--0.04788896)×1.43994340922604e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.43994340922604e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.43994340922604e-05×40589641000000     		ar = 9348.07868012604m²