Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64535 / 75421
↖ ↑ ↗
← S 26.187483°
W  2.749329°		 ← 274.08 m → S 26.187483°
W  2.746582°		 →
↑
274.08 m
↓
↑
274.08 m
↓
S 26.189948°
W  2.749329°		 ← 274.07 m →
75 118 m²		 S 26.189948°
W  2.746582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492366790771484 y=0.575420379638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492366790771484 × 217)
    floor (0.492366790771484 × 131072)
    floor (64535.5)     		tx = 64535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575420379638672 × 217)
    floor (0.575420379638672 × 131072)
    floor (75421.5)     		ty = 75421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64535 / 75421 ti = "17/64535/75421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64535/75421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64535 ÷ 217
    64535 ÷ 131072     		x = 0.492362976074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75421 ÷ 217
    75421 ÷ 131072     		y = 0.575416564941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492362976074219 × 2 - 1) × π
    -0.0152740478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04798484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575416564941406 × 2 - 1) × π
    -0.150833129882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.473856252744255
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04798484} λ = -0.04798484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.473856252744255))-π/2
    2×atan(0.622596742708752)-π/2
    2×0.556869263393172-π/2
    1.11373852678634-1.57079632675     		φ = -0.45705780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04798484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.749329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45705780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.187483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64535 KachelY 75421 -0.04798484 -0.45705780 -2.749329 -26.187483
    Oben rechts KachelX + 1 64536 KachelY 75421 -0.04793690 -0.45705780 -2.746582 -26.187483
    Unten links KachelX 64535 KachelY + 1 75422 -0.04798484 -0.45710082 -2.749329 -26.189948
    Unten rechts KachelX + 1 64536 KachelY + 1 75422 -0.04793690 -0.45710082 -2.746582 -26.189948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45705780--0.45710082) × R
    4.30200000000047e-05 × 6371000     		dl = 274.08042000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45705780--0.45710082) × R
    4.30200000000047e-05 × 6371000     		dr = 274.08042000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04798484--0.04793690) × cos(-0.45705780) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.897354801406612 × 6371000     		do = 274.075254262186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04798484--0.04793690) × cos(-0.45710082) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.897335815427631 × 6371000     		du = 274.069455455506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45705780)-sin(-0.45710082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897354801406612-0.897335815427631)×R²
    abs(-0.04793690--0.04798484)×1.89859789812008e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.89859789812008e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.89859789812008e-05×40589641000000     		ar = 75117.8661416972m²