Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64534 / 27666
↖ ↑ ↗
← N 71.509236°
W  2.752075°		 ← 96.85 m → N 71.509236°
W  2.749329°		 →
↑
96.84 m
↓
↑
96.84 m
↓
N 71.508365°
W  2.752075°		 ← 96.85 m →
9 379 m²		 N 71.508365°
W  2.749329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492359161376953 y=0.211078643798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492359161376953 × 217)
    floor (0.492359161376953 × 131072)
    floor (64534.5)     		tx = 64534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211078643798828 × 217)
    floor (0.211078643798828 × 131072)
    floor (27666.5)     		ty = 27666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64534 / 27666 ti = "17/64534/27666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64534/27666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64534 ÷ 217
    64534 ÷ 131072     		x = 0.492355346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27666 ÷ 217
    27666 ÷ 131072     		y = 0.211074829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492355346679688 × 2 - 1) × π
    -0.015289306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04803277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211074829101562 × 2 - 1) × π
    0.577850341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81537038861153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04803277} λ = -0.04803277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81537038861153))-π/2
    2×atan(6.14335118341572)-π/2
    2×1.40943396984673-π/2
    2.81886793969346-1.57079632675     		φ = 1.24807161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04803277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.752075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24807161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.509236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64534 KachelY 27666 -0.04803277 1.24807161 -2.752075 71.509236
    Oben rechts KachelX + 1 64535 KachelY 27666 -0.04798484 1.24807161 -2.749329 71.509236
    Unten links KachelX 64534 KachelY + 1 27667 -0.04803277 1.24805641 -2.752075 71.508365
    Unten rechts KachelX + 1 64535 KachelY + 1 27667 -0.04798484 1.24805641 -2.749329 71.508365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24807161-1.24805641) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dl = 96.8391999999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24807161-1.24805641) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dr = 96.8391999999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04803277--0.04798484) × cos(1.24807161) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.317151787418621 × 6371000     		do = 96.8461136242817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04803277--0.04798484) × cos(1.24805641) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.317166202678802 × 6371000     		du = 96.8505154973937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24807161)-sin(1.24805641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317151787418621-0.317166202678802)×R²
    abs(-0.04798484--0.04803277)×1.44152601815328e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.44152601815328e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.44152601815328e-05×40589641000000     		ar = 9378.71330356572m²