Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64525 / 68597
↖ ↑ ↗
← S  8.377280°
W  2.776795°		 ← 302.17 m → S  8.377280°
W  2.774048°		 →
↑
302.11 m
↓
↑
302.11 m
↓
S  8.379996°
W  2.776795°		 ← 302.16 m →
91 288 m²		 S  8.379996°
W  2.774048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492290496826172 y=0.523357391357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492290496826172 × 217)
    floor (0.492290496826172 × 131072)
    floor (64525.5)     		tx = 64525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523357391357422 × 217)
    floor (0.523357391357422 × 131072)
    floor (68597.5)     		ty = 68597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64525 / 68597 ti = "17/64525/68597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64525/68597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64525 ÷ 217
    64525 ÷ 131072     		x = 0.492286682128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68597 ÷ 217
    68597 ÷ 131072     		y = 0.523353576660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492286682128906 × 2 - 1) × π
    -0.0154266357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04846421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523353576660156 × 2 - 1) × π
    -0.0467071533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.146734849736992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04846421} λ = -0.04846421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.146734849736992))-π/2
    2×atan(0.863522910390963)-π/2
    2×0.712292610576424-π/2
    1.42458522115285-1.57079632675     		φ = -0.14621111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04846421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.776795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14621111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.377280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64525 KachelY 68597 -0.04846421 -0.14621111 -2.776795 -8.377280
    Oben rechts KachelX + 1 64526 KachelY 68597 -0.04841627 -0.14621111 -2.774048 -8.377280
    Unten links KachelX 64525 KachelY + 1 68598 -0.04846421 -0.14625853 -2.776795 -8.379996
    Unten rechts KachelX + 1 64526 KachelY + 1 68598 -0.04841627 -0.14625853 -2.774048 -8.379996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14621111--0.14625853) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dl = 302.112819999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14621111--0.14625853) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dr = 302.112819999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04846421--0.04841627) × cos(-0.14621111) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.989330183991304 × 6371000     		do = 302.166903549901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04846421--0.04841627) × cos(-0.14625853) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.989323274224845 × 6371000     		du = 302.164793129367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14621111)-sin(-0.14625853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989330183991304-0.989323274224845)×R²
    abs(-0.04841627--0.04846421)×6.90976645878472e-06×R²
    4.79400000000033e-05×6.90976645878472e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×6.90976645878472e-06×40589641000000     		ar = 91288.1765666639m²