Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64521 / 27653
↖ ↑ ↗
← N 71.520557°
W  2.787781°		 ← 96.79 m → N 71.520557°
W  2.785034°		 →
↑
96.84 m
↓
↑
96.84 m
↓
N 71.519686°
W  2.787781°		 ← 96.79 m →
9 373 m²		 N 71.519686°
W  2.785034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492259979248047 y=0.210979461669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492259979248047 × 217)
    floor (0.492259979248047 × 131072)
    floor (64521.5)     		tx = 64521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210979461669922 × 217)
    floor (0.210979461669922 × 131072)
    floor (27653.5)     		ty = 27653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64521 / 27653 ti = "17/64521/27653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64521/27653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64521 ÷ 217
    64521 ÷ 131072     		x = 0.492256164550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27653 ÷ 217
    27653 ÷ 131072     		y = 0.210975646972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492256164550781 × 2 - 1) × π
    -0.0154876708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04865595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210975646972656 × 2 - 1) × π
    0.578048706054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.81599356830659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04865595} λ = -0.04865595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81599356830659))-π/2
    2×atan(6.14718078827491)-π/2
    2×1.40953276192599-π/2
    2.81906552385198-1.57079632675     		φ = 1.24826920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04865595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.787781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24826920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.520557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64521 KachelY 27653 -0.04865595 1.24826920 -2.787781 71.520557
    Oben rechts KachelX + 1 64522 KachelY 27653 -0.04860802 1.24826920 -2.785034 71.520557
    Unten links KachelX 64521 KachelY + 1 27654 -0.04865595 1.24825400 -2.787781 71.519686
    Unten rechts KachelX + 1 64522 KachelY + 1 27654 -0.04860802 1.24825400 -2.785034 71.519686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24826920-1.24825400) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dl = 96.8391999999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24826920-1.24825400) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dr = 96.8391999999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04865595--0.04860802) × cos(1.24826920) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.316964391853846 × 6371000     		do = 96.7888901342089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04865595--0.04860802) × cos(1.24825400) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.316978808066291 × 6371000     		du = 96.7932922981061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24826920)-sin(1.24825400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316964391853846-0.316978808066291)×R²
    abs(-0.04860802--0.04865595)×1.44162124452452e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.44162124452452e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.44162124452452e-05×40589641000000     		ar = 9373.17184054235m²