Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64520 / 27640
↖ ↑ ↗
← N 71.531870°
W  2.790527°		 ← 96.75 m → N 71.531870°
W  2.787781°		 →
↑
96.71 m
↓
↑
96.71 m
↓
N 71.531001°
W  2.790527°		 ← 96.76 m →
9 357 m²		 N 71.531001°
W  2.787781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492252349853516 y=0.210880279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492252349853516 × 217)
    floor (0.492252349853516 × 131072)
    floor (64520.5)     		tx = 64520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210880279541016 × 217)
    floor (0.210880279541016 × 131072)
    floor (27640.5)     		ty = 27640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64520 / 27640 ti = "17/64520/27640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64520/27640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64520 ÷ 217
    64520 ÷ 131072     		x = 0.49224853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27640 ÷ 217
    27640 ÷ 131072     		y = 0.21087646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49224853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0155029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04870389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21087646484375 × 2 - 1) × π
    0.5782470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81661674800165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04870389} λ = -0.04870389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81661674800165))-π/2
    2×atan(6.15101278040987)-π/2
    2×1.40963149563174-π/2
    2.81926299126349-1.57079632675     		φ = 1.24846666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04870389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24846666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.531870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64520 KachelY 27640 -0.04870389 1.24846666 -2.790527 71.531870
    Oben rechts KachelX + 1 64521 KachelY 27640 -0.04865595 1.24846666 -2.787781 71.531870
    Unten links KachelX 64520 KachelY + 1 27641 -0.04870389 1.24845148 -2.790527 71.531001
    Unten rechts KachelX + 1 64521 KachelY + 1 27641 -0.04865595 1.24845148 -2.787781 71.531001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24846666-1.24845148) × R
    1.51800000001145e-05 × 6371000     		dl = 96.7117800007298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24846666-1.24845148) × R
    1.51800000001145e-05 × 6371000     		dr = 96.7117800007298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04870389--0.04865595) × cos(1.24846666) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.316777107219211 × 6371000     		do = 96.7518823874794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04870389--0.04865595) × cos(1.24845148) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.316791505412827 × 6371000     		du = 96.7562799664194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24846666)-sin(1.24845148))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316777107219211-0.316791505412827)×R²
    abs(-0.04865595--0.04870389)×1.43981936164272e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.43981936164272e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.43981936164272e-05×40589641000000     		ar = 9357.25941317962m²