Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64519 / 77462
↖ ↑ ↗
← S 31.104685°
W  2.793274°		 ← 261.51 m → S 31.104685°
W  2.790527°		 →
↑
261.53 m
↓
↑
261.53 m
↓
S 31.107037°
W  2.793274°		 ← 261.51 m →
68 393 m²		 S 31.107037°
W  2.790527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492244720458984 y=0.590991973876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492244720458984 × 217)
    floor (0.492244720458984 × 131072)
    floor (64519.5)     		tx = 64519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590991973876953 × 217)
    floor (0.590991973876953 × 131072)
    floor (77462.5)     		ty = 77462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64519 / 77462 ti = "17/64519/77462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64519/77462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64519 ÷ 217
    64519 ÷ 131072     		x = 0.492240905761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77462 ÷ 217
    77462 ÷ 131072     		y = 0.590988159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492240905761719 × 2 - 1) × π
    -0.0155181884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04875183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590988159179688 × 2 - 1) × π
    -0.181976318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.57169546486879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04875183} λ = -0.04875183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.57169546486879))-π/2
    2×atan(0.564567422556665)-π/2
    2×0.513958577818071-π/2
    1.02791715563614-1.57079632675     		φ = -0.54287917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04875183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.793274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54287917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.104685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64519 KachelY 77462 -0.04875183 -0.54287917 -2.793274 -31.104685
    Oben rechts KachelX + 1 64520 KachelY 77462 -0.04870389 -0.54287917 -2.790527 -31.104685
    Unten links KachelX 64519 KachelY + 1 77463 -0.04875183 -0.54292022 -2.793274 -31.107037
    Unten rechts KachelX + 1 64520 KachelY + 1 77463 -0.04870389 -0.54292022 -2.790527 -31.107037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54287917--0.54292022) × R
    4.10499999999869e-05 × 6371000     		dl = 261.529549999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54287917--0.54292022) × R
    4.10499999999869e-05 × 6371000     		dr = 261.529549999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04875183--0.04870389) × cos(-0.54287917) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.856224843448886 × 6371000     		do = 261.513106416778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04875183--0.04870389) × cos(-0.54292022) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.856203636160111 × 6371000     		du = 261.50662916491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54287917)-sin(-0.54292022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856224843448886-0.856203636160111)×R²
    abs(-0.04870389--0.04875183)×2.12072887750825e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.12072887750825e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.12072887750825e-05×40589641000000     		ar = 68392.5580533122m²