Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64519 / 27641
↖ ↑ ↗
← N 71.531001°
W  2.793274°		 ← 96.76 m → N 71.531001°
W  2.790527°		 →
↑
96.78 m
↓
↑
96.78 m
↓
N 71.530130°
W  2.793274°		 ← 96.76 m →
9 364 m²		 N 71.530130°
W  2.790527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492244720458984 y=0.210887908935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492244720458984 × 217)
    floor (0.492244720458984 × 131072)
    floor (64519.5)     		tx = 64519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210887908935547 × 217)
    floor (0.210887908935547 × 131072)
    floor (27641.5)     		ty = 27641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64519 / 27641 ti = "17/64519/27641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64519/27641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64519 ÷ 217
    64519 ÷ 131072     		x = 0.492240905761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27641 ÷ 217
    27641 ÷ 131072     		y = 0.210884094238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492240905761719 × 2 - 1) × π
    -0.0155181884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04875183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210884094238281 × 2 - 1) × π
    0.578231811523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.81656881110203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04875183} λ = -0.04875183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81656881110203))-π/2
    2×atan(6.15071792699489)-π/2
    2×1.40962390280304-π/2
    2.81924780560607-1.57079632675     		φ = 1.24845148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04875183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.793274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24845148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.531001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64519 KachelY 27641 -0.04875183 1.24845148 -2.793274 71.531001
    Oben rechts KachelX + 1 64520 KachelY 27641 -0.04870389 1.24845148 -2.790527 71.531001
    Unten links KachelX 64519 KachelY + 1 27642 -0.04875183 1.24843629 -2.793274 71.530130
    Unten rechts KachelX + 1 64520 KachelY + 1 27642 -0.04870389 1.24843629 -2.790527 71.530130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24845148-1.24843629) × R
    1.51900000000538e-05 × 6371000     		dl = 96.7754900003426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24845148-1.24843629) × R
    1.51900000000538e-05 × 6371000     		dr = 96.7754900003426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04875183--0.04870389) × cos(1.24845148) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.316791505412827 × 6371000     		do = 96.7562799664334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04875183--0.04870389) × cos(1.24843629) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.316805913018349 × 6371000     		du = 96.7606804200114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24845148)-sin(1.24843629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316791505412827-0.316805913018349)×R²
    abs(-0.04870389--0.04875183)×1.44076055212938e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.44076055212938e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.44076055212938e-05×40589641000000     		ar = 9363.84933261845m²