Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64518 / 27645
↖ ↑ ↗
← N 71.527520°
W  2.796020°		 ← 96.75 m → N 71.527520°
W  2.793274°		 →
↑
96.78 m
↓
↑
96.78 m
↓
N 71.526650°
W  2.796020°		 ← 96.76 m →
9 364 m²		 N 71.526650°
W  2.793274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492237091064453 y=0.210918426513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492237091064453 × 217)
    floor (0.492237091064453 × 131072)
    floor (64518.5)     		tx = 64518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210918426513672 × 217)
    floor (0.210918426513672 × 131072)
    floor (27645.5)     		ty = 27645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64518 / 27645 ti = "17/64518/27645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64518/27645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64518 ÷ 217
    64518 ÷ 131072     		x = 0.492233276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27645 ÷ 217
    27645 ÷ 131072     		y = 0.210914611816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492233276367188 × 2 - 1) × π
    -0.015533447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04879976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210914611816406 × 2 - 1) × π
    0.578170776367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.81637706350355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04879976} λ = -0.04879976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81637706350355))-π/2
    2×atan(6.14953865466839)-π/2
    2×1.40959352803568-π/2
    2.81918705607137-1.57079632675     		φ = 1.24839073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04879976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.796020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24839073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.527520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64518 KachelY 27645 -0.04879976 1.24839073 -2.796020 71.527520
    Oben rechts KachelX + 1 64519 KachelY 27645 -0.04875183 1.24839073 -2.793274 71.527520
    Unten links KachelX 64518 KachelY + 1 27646 -0.04879976 1.24837554 -2.796020 71.526650
    Unten rechts KachelX + 1 64519 KachelY + 1 27646 -0.04875183 1.24837554 -2.793274 71.526650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24839073-1.24837554) × R
    1.51899999998317e-05 × 6371000     		dl = 96.7754899989279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24839073-1.24837554) × R
    1.51899999998317e-05 × 6371000     		dr = 96.7754899989279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04879976--0.04875183) × cos(1.24839073) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.316849125911548 × 6371000     		do = 96.7536922920651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04879976--0.04875183) × cos(1.24837554) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.316863533224703 × 6371000     		du = 96.758091738457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24839073)-sin(1.24837554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316849125911548-0.316863533224703)×R²
    abs(-0.04875183--0.04879976)×1.4407313154996e-05×R²
    4.79299999999946e-05×1.4407313154996e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×1.4407313154996e-05×40589641000000     		ar = 9363.59886030576m²