Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64517 / 31765
↖ ↑ ↗
← N 67.587239°
W  2.798767°		 ← 116.45 m → N 67.587239°
W  2.796020°		 →
↑
116.46 m
↓
↑
116.46 m
↓
N 67.586192°
W  2.798767°		 ← 116.46 m →
13 562 m²		 N 67.586192°
W  2.796020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492229461669922 y=0.242351531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492229461669922 × 217)
    floor (0.492229461669922 × 131072)
    floor (64517.5)     		tx = 64517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242351531982422 × 217)
    floor (0.242351531982422 × 131072)
    floor (31765.5)     		ty = 31765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64517 / 31765 ti = "17/64517/31765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64517/31765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64517 ÷ 217
    64517 ÷ 131072     		x = 0.492225646972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31765 ÷ 217
    31765 ÷ 131072     		y = 0.242347717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492225646972656 × 2 - 1) × π
    -0.0155487060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04884770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242347717285156 × 2 - 1) × π
    0.515304565429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.61887703706892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04884770} λ = -0.04884770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61887703706892))-π/2
    2×atan(5.04741906834768)-π/2
    2×1.37520809417006-π/2
    2.75041618834013-1.57079632675     		φ = 1.17961986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04884770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.798767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17961986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.587239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64517 KachelY 31765 -0.04884770 1.17961986 -2.798767 67.587239
    Oben rechts KachelX + 1 64518 KachelY 31765 -0.04879976 1.17961986 -2.796020 67.587239
    Unten links KachelX 64517 KachelY + 1 31766 -0.04884770 1.17960158 -2.798767 67.586192
    Unten rechts KachelX + 1 64518 KachelY + 1 31766 -0.04879976 1.17960158 -2.796020 67.586192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17961986-1.17960158) × R
    1.82800000001482e-05 × 6371000     		dl = 116.461880000944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17961986-1.17960158) × R
    1.82800000001482e-05 × 6371000     		dr = 116.461880000944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04884770--0.04879976) × cos(1.17961986) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.381276276564932 × 6371000     		do = 116.451588914297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04884770--0.04879976) × cos(1.17960158) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.381293175650883 × 6371000     		du = 116.456750330129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17961986)-sin(1.17960158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381276276564932-0.381293175650883)×R²
    abs(-0.04879976--0.04884770)×1.68990859504281e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.68990859504281e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.68990859504281e-05×40589641000000     		ar = 13562.4715283842m²