Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64517 / 27643
↖ ↑ ↗
← N 71.529261°
W  2.798767°		 ← 96.77 m → N 71.529261°
W  2.796020°		 →
↑
96.78 m
↓
↑
96.78 m
↓
N 71.528390°
W  2.798767°		 ← 96.77 m →
9 365 m²		 N 71.528390°
W  2.796020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492229461669922 y=0.210903167724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492229461669922 × 217)
    floor (0.492229461669922 × 131072)
    floor (64517.5)     		tx = 64517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210903167724609 × 217)
    floor (0.210903167724609 × 131072)
    floor (27643.5)     		ty = 27643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64517 / 27643 ti = "17/64517/27643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64517/27643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64517 ÷ 217
    64517 ÷ 131072     		x = 0.492225646972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27643 ÷ 217
    27643 ÷ 131072     		y = 0.210899353027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492225646972656 × 2 - 1) × π
    -0.0155487060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04884770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210899353027344 × 2 - 1) × π
    0.578201293945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.81647293730279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04884770} λ = -0.04884770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81647293730279))-π/2
    2×atan(6.15012826256631)-π/2
    2×1.40960871610989-π/2
    2.81921743221978-1.57079632675     		φ = 1.24842111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04884770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.798767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24842111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.529261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64517 KachelY 27643 -0.04884770 1.24842111 -2.798767 71.529261
    Oben rechts KachelX + 1 64518 KachelY 27643 -0.04879976 1.24842111 -2.796020 71.529261
    Unten links KachelX 64517 KachelY + 1 27644 -0.04884770 1.24840592 -2.798767 71.528390
    Unten rechts KachelX + 1 64518 KachelY + 1 27644 -0.04879976 1.24840592 -2.796020 71.528390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24842111-1.24840592) × R
    1.51900000000538e-05 × 6371000     		dl = 96.7754900003426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24842111-1.24840592) × R
    1.51900000000538e-05 × 6371000     		dr = 96.7754900003426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04884770--0.04879976) × cos(1.24842111) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.316820311065915 × 6371000     		do = 96.765077954344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04884770--0.04879976) × cos(1.24840592) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.316834718525284 × 6371000     		du = 96.7694783632833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24842111)-sin(1.24840592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316820311065915-0.316834718525284)×R²
    abs(-0.04879976--0.04884770)×1.44074593689814e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.44074593689814e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.44074593689814e-05×40589641000000     		ar = 9364.70076006553m²