Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64510 / 68577
↖ ↑ ↗
← S  8.322930°
W  2.817993°		 ← 302.21 m → S  8.322930°
W  2.815246°		 →
↑
302.18 m
↓
↑
302.18 m
↓
S  8.325647°
W  2.817993°		 ← 302.21 m →
91 320 m²		 S  8.325647°
W  2.815246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492176055908203 y=0.523204803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492176055908203 × 217)
    floor (0.492176055908203 × 131072)
    floor (64510.5)     		tx = 64510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523204803466797 × 217)
    floor (0.523204803466797 × 131072)
    floor (68577.5)     		ty = 68577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64510 / 68577 ti = "17/64510/68577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64510/68577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64510 ÷ 217
    64510 ÷ 131072     		x = 0.492172241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68577 ÷ 217
    68577 ÷ 131072     		y = 0.523200988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492172241210938 × 2 - 1) × π
    -0.015655517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04918326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523200988769531 × 2 - 1) × π
    -0.0464019775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.145776111744591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04918326} λ = -0.04918326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.145776111744591))-π/2
    2×atan(0.864351199605187)-π/2
    2×0.712766897846089-π/2
    1.42553379569218-1.57079632675     		φ = -0.14526253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04918326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.817993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14526253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.322930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64510 KachelY 68577 -0.04918326 -0.14526253 -2.817993 -8.322930
    Oben rechts KachelX + 1 64511 KachelY 68577 -0.04913532 -0.14526253 -2.815246 -8.322930
    Unten links KachelX 64510 KachelY + 1 68578 -0.04918326 -0.14530996 -2.817993 -8.325647
    Unten rechts KachelX + 1 64511 KachelY + 1 68578 -0.04913532 -0.14530996 -2.815246 -8.325647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14526253--0.14530996) × R
    4.74299999999872e-05 × 6371000     		dl = 302.176529999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14526253--0.14530996) × R
    4.74299999999872e-05 × 6371000     		dr = 302.176529999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04918326--0.04913532) × cos(-0.14526253) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.989467938175895 × 6371000     		do = 302.208977223624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04918326--0.04913532) × cos(-0.14530996) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98946107146611 × 6371000     		du = 302.206879953706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14526253)-sin(-0.14530996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989467938175895-0.98946107146611)×R²
    abs(-0.04913532--0.04918326)×6.86670978577997e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.86670978577997e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.86670978577997e-06×40589641000000     		ar = 91320.1432164774m²