Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64509 / 68578
↖ ↑ ↗
← S  8.325647°
W  2.820740°		 ← 302.21 m → S  8.325647°
W  2.817993°		 →
↑
302.18 m
↓
↑
302.18 m
↓
S  8.328365°
W  2.820740°		 ← 302.20 m →
91 320 m²		 S  8.328365°
W  2.817993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492168426513672 y=0.523212432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492168426513672 × 217)
    floor (0.492168426513672 × 131072)
    floor (64509.5)     		tx = 64509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523212432861328 × 217)
    floor (0.523212432861328 × 131072)
    floor (68578.5)     		ty = 68578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64509 / 68578 ti = "17/64509/68578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64509/68578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64509 ÷ 217
    64509 ÷ 131072     		x = 0.492164611816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68578 ÷ 217
    68578 ÷ 131072     		y = 0.523208618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492164611816406 × 2 - 1) × π
    -0.0156707763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04923120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523208618164062 × 2 - 1) × π
    -0.046417236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.145824048644211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04923120} λ = -0.04923120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.145824048644211))-π/2
    2×atan(0.864309766281596)-π/2
    2×0.712743181915769-π/2
    1.42548636383154-1.57079632675     		φ = -0.14530996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04923120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.820740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14530996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.325647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64509 KachelY 68578 -0.04923120 -0.14530996 -2.820740 -8.325647
    Oben rechts KachelX + 1 64510 KachelY 68578 -0.04918326 -0.14530996 -2.817993 -8.325647
    Unten links KachelX 64509 KachelY + 1 68579 -0.04923120 -0.14535739 -2.820740 -8.328365
    Unten rechts KachelX + 1 64510 KachelY + 1 68579 -0.04918326 -0.14535739 -2.817993 -8.328365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14530996--0.14535739) × R
    4.7430000000015e-05 × 6371000     		dl = 302.176530000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14530996--0.14535739) × R
    4.7430000000015e-05 × 6371000     		dr = 302.176530000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04923120--0.04918326) × cos(-0.14530996) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.98946107146611 × 6371000     		do = 302.20687995375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04923120--0.04918326) × cos(-0.14535739) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.989454202530427 × 6371000     		du = 302.204782003986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14530996)-sin(-0.14535739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98946107146611-0.989454202530427)×R²
    abs(-0.04918326--0.04923120)×6.86893568224711e-06×R²
    4.79400000000033e-05×6.86893568224711e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×6.86893568224711e-06×40589641000000     		ar = 91319.5093680993m²