Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64508 / 68588
↖ ↑ ↗
← S  8.352823°
W  2.823486°		 ← 302.12 m → S  8.352823°
W  2.820740°		 →
↑
302.18 m
↓
↑
302.18 m
↓
S  8.355540°
W  2.823486°		 ← 302.12 m →
91 294 m²		 S  8.355540°
W  2.820740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492160797119141 y=0.523288726806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492160797119141 × 217)
    floor (0.492160797119141 × 131072)
    floor (64508.5)     		tx = 64508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523288726806641 × 217)
    floor (0.523288726806641 × 131072)
    floor (68588.5)     		ty = 68588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64508 / 68588 ti = "17/64508/68588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64508/68588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64508 ÷ 217
    64508 ÷ 131072     		x = 0.492156982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68588 ÷ 217
    68588 ÷ 131072     		y = 0.523284912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492156982421875 × 2 - 1) × π
    -0.01568603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04927913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523284912109375 × 2 - 1) × π
    -0.04656982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.146303417640411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04927913} λ = -0.04927913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.146303417640411))-π/2
    2×atan(0.863895542267534)-π/2
    2×0.712506031675117-π/2
    1.42501206335023-1.57079632675     		φ = -0.14578426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04927913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.823486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14578426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.352823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64508 KachelY 68588 -0.04927913 -0.14578426 -2.823486 -8.352823
    Oben rechts KachelX + 1 64509 KachelY 68588 -0.04923120 -0.14578426 -2.820740 -8.352823
    Unten links KachelX 64508 KachelY + 1 68589 -0.04927913 -0.14583169 -2.823486 -8.355540
    Unten rechts KachelX + 1 64509 KachelY + 1 68589 -0.04923120 -0.14583169 -2.820740 -8.355540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14578426--0.14583169) × R
    4.7430000000015e-05 × 6371000     		dl = 302.176530000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14578426--0.14583169) × R
    4.7430000000015e-05 × 6371000     		dr = 302.176530000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04927913--0.04923120) × cos(-0.14578426) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.989392281946497 × 6371000     		do = 302.122835681481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04927913--0.04923120) × cos(-0.14583169) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.9893853907527 × 6371000     		du = 302.120731372554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14578426)-sin(-0.14583169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989392281946497-0.9893853907527)×R²
    abs(-0.04923120--0.04927913)×6.89119379626568e-06×R²
    4.79299999999946e-05×6.89119379626568e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×6.89119379626568e-06×40589641000000     		ar = 91294.1122007644m²