Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64508 / 68580
↖ ↑ ↗
← S  8.331083°
W  2.823486°		 ← 302.14 m → S  8.331083°
W  2.820740°		 →
↑
302.18 m
↓
↑
302.18 m
↓
S  8.333801°
W  2.823486°		 ← 302.14 m →
91 299 m²		 S  8.333801°
W  2.820740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492160797119141 y=0.523227691650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492160797119141 × 217)
    floor (0.492160797119141 × 131072)
    floor (64508.5)     		tx = 64508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523227691650391 × 217)
    floor (0.523227691650391 × 131072)
    floor (68580.5)     		ty = 68580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64508 / 68580 ti = "17/64508/68580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64508/68580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64508 ÷ 217
    64508 ÷ 131072     		x = 0.492156982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68580 ÷ 217
    68580 ÷ 131072     		y = 0.523223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492156982421875 × 2 - 1) × π
    -0.01568603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04927913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523223876953125 × 2 - 1) × π
    -0.04644775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.145919922443451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04927913} λ = -0.04927913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.145919922443451))-π/2
    2×atan(0.86422690559273)-π/2
    2×0.712695750549032-π/2
    1.42539150109806-1.57079632675     		φ = -0.14540483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04927913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.823486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14540483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.331083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64508 KachelY 68580 -0.04927913 -0.14540483 -2.823486 -8.331083
    Oben rechts KachelX + 1 64509 KachelY 68580 -0.04923120 -0.14540483 -2.820740 -8.331083
    Unten links KachelX 64508 KachelY + 1 68581 -0.04927913 -0.14545226 -2.823486 -8.333801
    Unten rechts KachelX + 1 64509 KachelY + 1 68581 -0.04923120 -0.14545226 -2.820740 -8.333801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14540483--0.14545226) × R
    4.74299999999872e-05 × 6371000     		dl = 302.176529999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14540483--0.14545226) × R
    4.74299999999872e-05 × 6371000     		dr = 302.176529999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04927913--0.04923120) × cos(-0.14540483) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.989447329919934 × 6371000     		do = 302.139645242397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04927913--0.04923120) × cos(-0.14545226) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.989440456532036 × 6371000     		du = 302.137546370715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14540483)-sin(-0.14545226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989447329919934-0.989440456532036)×R²
    abs(-0.04923120--0.04927913)×6.87338789817638e-06×R²
    4.79299999999946e-05×6.87338789817638e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×6.87338789817638e-06×40589641000000     		ar = 91299.1924769855m²