Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64505 / 75500
↖ ↑ ↗
← S 26.382028°
W  2.831726°		 ← 273.56 m → S 26.382028°
W  2.828980°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
S 26.384489°
W  2.831726°		 ← 273.55 m →
74 854 m²		 S 26.384489°
W  2.828980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492137908935547 y=0.576023101806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492137908935547 × 217)
    floor (0.492137908935547 × 131072)
    floor (64505.5)     		tx = 64505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576023101806641 × 217)
    floor (0.576023101806641 × 131072)
    floor (75500.5)     		ty = 75500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64505 / 75500 ti = "17/64505/75500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64505/75500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64505 ÷ 217
    64505 ÷ 131072     		x = 0.492134094238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75500 ÷ 217
    75500 ÷ 131072     		y = 0.576019287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492134094238281 × 2 - 1) × π
    -0.0157318115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04942294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576019287109375 × 2 - 1) × π
    -0.15203857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.477643267814239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04942294} λ = -0.04942294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.477643267814239))-π/2
    2×atan(0.620243418311582)-π/2
    2×0.555171537636114-π/2
    1.11034307527223-1.57079632675     		φ = -0.46045325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04942294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.831726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46045325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.382028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64505 KachelY 75500 -0.04942294 -0.46045325 -2.831726 -26.382028
    Oben rechts KachelX + 1 64506 KachelY 75500 -0.04937501 -0.46045325 -2.828980 -26.382028
    Unten links KachelX 64505 KachelY + 1 75501 -0.04942294 -0.46049620 -2.831726 -26.384489
    Unten rechts KachelX + 1 64506 KachelY + 1 75501 -0.04937501 -0.46049620 -2.828980 -26.384489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46045325--0.46049620) × R
    4.29500000000416e-05 × 6371000     		dl = 273.634450000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46045325--0.46049620) × R
    4.29500000000416e-05 × 6371000     		dr = 273.634450000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04942294--0.04937501) × cos(-0.46045325) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.89585118601241 × 6371000     		do = 273.558936738666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04942294--0.04937501) × cos(-0.46049620) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.895832100173359 × 6371000     		du = 273.553108648109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46045325)-sin(-0.46049620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89585118601241-0.895832100173359)×R²
    abs(-0.04937501--0.04942294)×1.90858390509696e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.90858390509696e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.90858390509696e-05×40589641000000     		ar = 74854.3518254736m²