Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64504 / 27815
↖ ↑ ↗
← N 71.379004°
W  2.834473°		 ← 97.52 m → N 71.379004°
W  2.831726°		 →
↑
97.54 m
↓
↑
97.54 m
↓
N 71.378127°
W  2.834473°		 ← 97.53 m →
9 513 m²		 N 71.378127°
W  2.831726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492130279541016 y=0.212215423583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492130279541016 × 217)
    floor (0.492130279541016 × 131072)
    floor (64504.5)     		tx = 64504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212215423583984 × 217)
    floor (0.212215423583984 × 131072)
    floor (27815.5)     		ty = 27815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64504 / 27815 ti = "17/64504/27815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64504/27815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64504 ÷ 217
    64504 ÷ 131072     		x = 0.49212646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27815 ÷ 217
    27815 ÷ 131072     		y = 0.212211608886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.0157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04947088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212211608886719 × 2 - 1) × π
    0.575576782226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.80822779056814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04947088} λ = -0.04947088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80822779056814))-π/2
    2×atan(6.09962802961373)-π/2
    2×1.40829748210331-π/2
    2.81659496420662-1.57079632675     		φ = 1.24579864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04947088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.834473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24579864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.379004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64504 KachelY 27815 -0.04947088 1.24579864 -2.834473 71.379004
    Oben rechts KachelX + 1 64505 KachelY 27815 -0.04942294 1.24579864 -2.831726 71.379004
    Unten links KachelX 64504 KachelY + 1 27816 -0.04947088 1.24578333 -2.834473 71.378127
    Unten rechts KachelX + 1 64505 KachelY + 1 27816 -0.04942294 1.24578333 -2.831726 71.378127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24579864-1.24578333) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dl = 97.5400099999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24579864-1.24578333) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dr = 97.5400099999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04947088--0.04942294) × cos(1.24579864) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.31930659374565 × 6371000     		do = 97.5244526816512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04947088--0.04942294) × cos(1.24578333) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.319321102252157 × 6371000     		du = 97.5288839529874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24579864)-sin(1.24578333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31930659374565-0.319321102252157)×R²
    abs(-0.04942294--0.04947088)×1.45085065070827e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.45085065070827e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.45085065070827e-05×40589641000000     		ar = 9512.75220304223m²