Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64503 / 75502
↖ ↑ ↗
← S 26.386949°
W  2.837219°		 ← 273.60 m → S 26.386949°
W  2.834473°		 →
↑
273.57 m
↓
↑
273.57 m
↓
S 26.389409°
W  2.837219°		 ← 273.60 m →
74 849 m²		 S 26.389409°
W  2.834473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492122650146484 y=0.576038360595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492122650146484 × 217)
    floor (0.492122650146484 × 131072)
    floor (64503.5)     		tx = 64503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576038360595703 × 217)
    floor (0.576038360595703 × 131072)
    floor (75502.5)     		ty = 75502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64503 / 75502 ti = "17/64503/75502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64503/75502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64503 ÷ 217
    64503 ÷ 131072     		x = 0.492118835449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75502 ÷ 217
    75502 ÷ 131072     		y = 0.576034545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492118835449219 × 2 - 1) × π
    -0.0157623291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04951882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576034545898438 × 2 - 1) × π
    -0.152069091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.47773914161348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04951882} λ = -0.04951882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.47773914161348))-π/2
    2×atan(0.620183956069095)-π/2
    2×0.555128594222564-π/2
    1.11025718844513-1.57079632675     		φ = -0.46053914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04951882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.837219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46053914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.386949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64503 KachelY 75502 -0.04951882 -0.46053914 -2.837219 -26.386949
    Oben rechts KachelX + 1 64504 KachelY 75502 -0.04947088 -0.46053914 -2.834473 -26.386949
    Unten links KachelX 64503 KachelY + 1 75503 -0.04951882 -0.46058208 -2.837219 -26.389409
    Unten rechts KachelX + 1 64504 KachelY + 1 75503 -0.04947088 -0.46058208 -2.834473 -26.389409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46053914--0.46058208) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dl = 273.570739999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46053914--0.46058208) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dr = 273.570739999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04951882--0.04947088) × cos(-0.46053914) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.895813017126076 × 6371000     		do = 273.604353657343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04951882--0.04947088) × cos(-0.46058208) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.895793932427053 × 6371000     		du = 273.598524699022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46053914)-sin(-0.46058208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895813017126076-0.895793932427053)×R²
    abs(-0.04947088--0.04951882)×1.90846990222315e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90846990222315e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90846990222315e-05×40589641000000     		ar = 74849.3481925213m²