Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 645 / 382
↖ ↑ ↗
← N 81.120389°
W123.310547°		 ← 1 508.56 m → N 81.120389°
W123.222656°		 →
↑
1 509.67 m
↓
↑
1 509.67 m
↓
N 81.106812°
W123.310547°		 ← 1 510.84 m →
2 279 153 m²		 N 81.106812°
W123.222656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1575927734375 y=0.0933837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1575927734375 × 212)
    floor (0.1575927734375 × 4096)
    floor (645.5)     		tx = 645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0933837890625 × 212)
    floor (0.0933837890625 × 4096)
    floor (382.5)     		ty = 382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 645 / 382 ti = "12/645/382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/645/382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 645 ÷ 212
    645 ÷ 4096     		x = 0.157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 382 ÷ 212
    382 ÷ 4096     		y = 0.09326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157470703125 × 2 - 1) × π
    -0.68505859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15217505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09326171875 × 2 - 1) × π
    0.8134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55561199254443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15217505} λ = -2.15217505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55561199254443))-π/2
    2×atan(12.8791792078168)-π/2
    2×1.49330709744823-π/2
    2.98661419489646-1.57079632675     		φ = 1.41581787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15217505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.310547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41581787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.120389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 645 KachelY 382 -2.15217505 1.41581787 -123.310547 81.120389
    Oben rechts KachelX + 1 646 KachelY 382 -2.15064106 1.41581787 -123.222656 81.120389
    Unten links KachelX 645 KachelY + 1 383 -2.15217505 1.41558091 -123.310547 81.106812
    Unten rechts KachelX + 1 646 KachelY + 1 383 -2.15064106 1.41558091 -123.222656 81.106812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41581787-1.41558091) × R
    0.000236959999999842 × 6371000     		dl = 1509.67215999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41581787-1.41558091) × R
    0.000236959999999842 × 6371000     		dr = 1509.67215999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15217505--2.15064106) × cos(1.41581787) × R
    0.00153398999999999 × 0.154358814320269 × 6371000     		do = 1508.55645505674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15217505--2.15064106) × cos(1.41558091) × R
    0.00153398999999999 × 0.15459292998482 × 6371000     		du = 1510.84447922008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41581787)-sin(1.41558091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154358814320269-0.15459292998482)×R²
    abs(-2.15064106--2.15217505)×0.000234115664551449×R²
    0.00153398999999999×0.000234115664551449×6371000²
    0.00153398999999999×0.000234115664551449×40589641000000     		ar = 2279152.77583944m²