Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64496 / 27824
↖ ↑ ↗
← N 71.371109°
W  2.856446°		 ← 97.56 m → N 71.371109°
W  2.853699°		 →
↑
97.54 m
↓
↑
97.54 m
↓
N 71.370232°
W  2.856446°		 ← 97.57 m →
9 517 m²		 N 71.370232°
W  2.853699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492069244384766 y=0.212284088134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492069244384766 × 217)
    floor (0.492069244384766 × 131072)
    floor (64496.5)     		tx = 64496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212284088134766 × 217)
    floor (0.212284088134766 × 131072)
    floor (27824.5)     		ty = 27824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64496 / 27824 ti = "17/64496/27824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64496/27824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64496 ÷ 217
    64496 ÷ 131072     		x = 0.4920654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27824 ÷ 217
    27824 ÷ 131072     		y = 0.2122802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4920654296875 × 2 - 1) × π
    -0.015869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04985438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2122802734375 × 2 - 1) × π
    0.575439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.80779635847156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04985438} λ = -0.04985438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80779635847156))-π/2
    2×atan(6.09699702189595)-π/2
    2×1.40822858846387-π/2
    2.81645717692775-1.57079632675     		φ = 1.24566085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04985438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.856446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24566085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.371109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64496 KachelY 27824 -0.04985438 1.24566085 -2.856446 71.371109
    Oben rechts KachelX + 1 64497 KachelY 27824 -0.04980644 1.24566085 -2.853699 71.371109
    Unten links KachelX 64496 KachelY + 1 27825 -0.04985438 1.24564554 -2.856446 71.370232
    Unten rechts KachelX + 1 64497 KachelY + 1 27825 -0.04980644 1.24564554 -2.853699 71.370232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24566085-1.24564554) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dl = 97.5400099999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24566085-1.24564554) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dr = 97.5400099999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04985438--0.04980644) × cos(1.24566085) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.319437167609414 × 6371000     		do = 97.5643333006017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04985438--0.04980644) × cos(1.24564554) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.31945167544217 × 6371000     		du = 97.5687643661571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24566085)-sin(1.24564554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319437167609414-0.31945167544217)×R²
    abs(-0.04980644--0.04985438)×1.45078327560277e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.45078327560277e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.45078327560277e-05×40589641000000     		ar = 9516.64214894274m²