Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64495 / 27825
↖ ↑ ↗
← N 71.370232°
W  2.859192°		 ← 97.55 m → N 71.370232°
W  2.856446°		 →
↑
97.60 m
↓
↑
97.60 m
↓
N 71.369354°
W  2.859192°		 ← 97.55 m →
9 521 m²		 N 71.369354°
W  2.856446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492061614990234 y=0.212291717529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492061614990234 × 217)
    floor (0.492061614990234 × 131072)
    floor (64495.5)     		tx = 64495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212291717529297 × 217)
    floor (0.212291717529297 × 131072)
    floor (27825.5)     		ty = 27825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64495 / 27825 ti = "17/64495/27825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64495/27825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64495 ÷ 217
    64495 ÷ 131072     		x = 0.492057800292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27825 ÷ 217
    27825 ÷ 131072     		y = 0.212287902832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492057800292969 × 2 - 1) × π
    -0.0158843994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04990231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212287902832031 × 2 - 1) × π
    0.575424194335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.80774842157194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04990231} λ = -0.04990231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80774842157194))-π/2
    2×atan(6.0967047577669)-π/2
    2×1.40822093187626-π/2
    2.81644186375251-1.57079632675     		φ = 1.24564554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04990231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.859192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24564554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.370232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64495 KachelY 27825 -0.04990231 1.24564554 -2.859192 71.370232
    Oben rechts KachelX + 1 64496 KachelY 27825 -0.04985438 1.24564554 -2.856446 71.370232
    Unten links KachelX 64495 KachelY + 1 27826 -0.04990231 1.24563022 -2.859192 71.369354
    Unten rechts KachelX + 1 64496 KachelY + 1 27826 -0.04985438 1.24563022 -2.856446 71.369354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24564554-1.24563022) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dl = 97.603719999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24564554-1.24563022) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dr = 97.603719999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04990231--0.04985438) × cos(1.24564554) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.31945167544217 × 6371000     		do = 97.5484120999253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04990231--0.04985438) × cos(1.24563022) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.319466192676024 × 6371000     		du = 97.5528451119252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24564554)-sin(1.24563022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31945167544217-0.319466192676024)×R²
    abs(-0.04985438--0.04990231)×1.45172338545385e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.45172338545385e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.45172338545385e-05×40589641000000     		ar = 9521.30424050339m²