Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64494 / 75545
↖ ↑ ↗
← S 26.492699°
W  2.861939°		 ← 273.35 m → S 26.492699°
W  2.859192°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
S 26.495157°
W  2.861939°		 ← 273.35 m →
74 711 m²		 S 26.495157°
W  2.859192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492053985595703 y=0.576366424560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492053985595703 × 217)
    floor (0.492053985595703 × 131072)
    floor (64494.5)     		tx = 64494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576366424560547 × 217)
    floor (0.576366424560547 × 131072)
    floor (75545.5)     		ty = 75545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64494 / 75545 ti = "17/64494/75545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64494/75545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64494 ÷ 217
    64494 ÷ 131072     		x = 0.492050170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75545 ÷ 217
    75545 ÷ 131072     		y = 0.576362609863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492050170898438 × 2 - 1) × π
    -0.015899658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04995025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576362609863281 × 2 - 1) × π
    -0.152725219726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.479800428297142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04995025} λ = -0.04995025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479800428297142))-π/2
    2×atan(0.618906895784884)-π/2
    2×0.554205753796082-π/2
    1.10841150759216-1.57079632675     		φ = -0.46238482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04995025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.861939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46238482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.492699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64494 KachelY 75545 -0.04995025 -0.46238482 -2.861939 -26.492699
    Oben rechts KachelX + 1 64495 KachelY 75545 -0.04990231 -0.46238482 -2.859192 -26.492699
    Unten links KachelX 64494 KachelY + 1 75546 -0.04995025 -0.46242772 -2.861939 -26.495157
    Unten rechts KachelX + 1 64495 KachelY + 1 75546 -0.04990231 -0.46242772 -2.859192 -26.495157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46238482--0.46242772) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dl = 273.315900000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46238482--0.46242772) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dr = 273.315900000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04995025--0.04990231) × cos(-0.46238482) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.894991214116401 × 6371000     		do = 273.353353865019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04995025--0.04990231) × cos(-0.46242772) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.894972076299253 × 6371000     		du = 273.347508683054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46238482)-sin(-0.46242772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894991214116401-0.894972076299253)×R²
    abs(-0.04990231--0.04995025)×1.91378171484624e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.91378171484624e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.91378171484624e-05×40589641000000     		ar = 74711.0191505427m²