Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64492 / 75556
↖ ↑ ↗
← S 26.519735°
W  2.867431°		 ← 273.23 m → S 26.519735°
W  2.864685°		 →
↑
273.25 m
↓
↑
273.25 m
↓
S 26.522193°
W  2.867431°		 ← 273.23 m →
74 660 m²		 S 26.522193°
W  2.864685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492038726806641 y=0.576450347900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492038726806641 × 217)
    floor (0.492038726806641 × 131072)
    floor (64492.5)     		tx = 64492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576450347900391 × 217)
    floor (0.576450347900391 × 131072)
    floor (75556.5)     		ty = 75556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64492 / 75556 ti = "17/64492/75556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64492/75556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64492 ÷ 217
    64492 ÷ 131072     		x = 0.492034912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75556 ÷ 217
    75556 ÷ 131072     		y = 0.576446533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492034912109375 × 2 - 1) × π
    -0.01593017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05004612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576446533203125 × 2 - 1) × π
    -0.15289306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.480327734192963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05004612} λ = -0.05004612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480327734192963))-π/2
    2×atan(0.618580628558648)-π/2
    2×0.553969814483008-π/2
    1.10793962896602-1.57079632675     		φ = -0.46285670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05004612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.867431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46285670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.519735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64492 KachelY 75556 -0.05004612 -0.46285670 -2.867431 -26.519735
    Oben rechts KachelX + 1 64493 KachelY 75556 -0.04999819 -0.46285670 -2.864685 -26.519735
    Unten links KachelX 64492 KachelY + 1 75557 -0.05004612 -0.46289959 -2.867431 -26.522193
    Unten rechts KachelX + 1 64493 KachelY + 1 75557 -0.04999819 -0.46289959 -2.864685 -26.522193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46285670--0.46289959) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dl = 273.252190000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46285670--0.46289959) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dr = 273.252190000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05004612--0.04999819) × cos(-0.46285670) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.894780616472346 × 6371000     		do = 273.232025450656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05004612--0.04999819) × cos(-0.46289959) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.894761465005076 × 6371000     		du = 273.226177319733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46285670)-sin(-0.46289959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894780616472346-0.894761465005076)×R²
    abs(-0.04999819--0.05004612)×1.9151467269829e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.9151467269829e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.9151467269829e-05×40589641000000     		ar = 74660.450336793m²