Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64490 / 31774
↖ ↑ ↗
← N 67.577813°
W  2.872925°		 ← 116.50 m → N 67.577813°
W  2.870178°		 →
↑
116.46 m
↓
↑
116.46 m
↓
N 67.576765°
W  2.872925°		 ← 116.50 m →
13 568 m²		 N 67.576765°
W  2.870178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492023468017578 y=0.242420196533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492023468017578 × 217)
    floor (0.492023468017578 × 131072)
    floor (64490.5)     		tx = 64490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242420196533203 × 217)
    floor (0.242420196533203 × 131072)
    floor (31774.5)     		ty = 31774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64490 / 31774 ti = "17/64490/31774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64490/31774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64490 ÷ 217
    64490 ÷ 131072     		x = 0.492019653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31774 ÷ 217
    31774 ÷ 131072     		y = 0.242416381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492019653320312 × 2 - 1) × π
    -0.015960693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.05014200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242416381835938 × 2 - 1) × π
    0.515167236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.61844560497234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05014200} λ = -0.05014200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61844560497234))-π/2
    2×atan(5.04524191943644)-π/2
    2×1.375125830355-π/2
    2.75025166071001-1.57079632675     		φ = 1.17945533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05014200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.872925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17945533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.577813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64490 KachelY 31774 -0.05014200 1.17945533 -2.872925 67.577813
    Oben rechts KachelX + 1 64491 KachelY 31774 -0.05009406 1.17945533 -2.870178 67.577813
    Unten links KachelX 64490 KachelY + 1 31775 -0.05014200 1.17943705 -2.872925 67.576765
    Unten rechts KachelX + 1 64491 KachelY + 1 31775 -0.05009406 1.17943705 -2.870178 67.576765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17945533-1.17943705) × R
    1.82799999999261e-05 × 6371000     		dl = 116.461879999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17945533-1.17943705) × R
    1.82799999999261e-05 × 6371000     		dr = 116.461879999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05014200--0.05009406) × cos(1.17945533) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.381428372995152 × 6371000     		do = 116.498043079031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05014200--0.05009406) × cos(1.17943705) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.381445270934118 × 6371000     		du = 116.503204144545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17945533)-sin(1.17943705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381428372995152-0.381445270934118)×R²
    abs(-0.05009406--0.05014200)×1.68979389664203e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.68979389664203e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.68979389664203e-05×40589641000000     		ar = 13567.8816472302m²