Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64480 / 27488
↖ ↑ ↗
← N 71.663663°
W  2.900391°		 ← 96.09 m → N 71.663663°
W  2.897644°		 →
↑
96.07 m
↓
↑
96.07 m
↓
N 71.662799°
W  2.900391°		 ← 96.09 m →
9 232 m²		 N 71.662799°
W  2.897644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491947174072266 y=0.209720611572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491947174072266 × 217)
    floor (0.491947174072266 × 131072)
    floor (64480.5)     		tx = 64480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209720611572266 × 217)
    floor (0.209720611572266 × 131072)
    floor (27488.5)     		ty = 27488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64480 / 27488 ti = "17/64480/27488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64480/27488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64480 ÷ 217
    64480 ÷ 131072     		x = 0.491943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27488 ÷ 217
    27488 ÷ 131072     		y = 0.209716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491943359375 × 2 - 1) × π
    -0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209716796875 × 2 - 1) × π
    0.58056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8239031567439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05062137} λ = -0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8239031567439))-π/2
    2×atan(6.19599525503856)-π/2
    2×1.41078159948557-π/2
    2.82156319897114-1.57079632675     		φ = 1.25076687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25076687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.663663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64480 KachelY 27488 -0.05062137 1.25076687 -2.900391 71.663663
    Oben rechts KachelX + 1 64481 KachelY 27488 -0.05057343 1.25076687 -2.897644 71.663663
    Unten links KachelX 64480 KachelY + 1 27489 -0.05062137 1.25075179 -2.900391 71.662799
    Unten rechts KachelX + 1 64481 KachelY + 1 27489 -0.05057343 1.25075179 -2.897644 71.662799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25076687-1.25075179) × R
    1.50800000000562e-05 × 6371000     		dl = 96.0746800003578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25076687-1.25075179) × R
    1.50800000000562e-05 × 6371000     		dr = 96.0746800003578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05062137--0.05057343) × cos(1.25076687) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.314594521912658 × 6371000     		do = 96.0852646551123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05062137--0.05057343) × cos(1.25075179) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.314608836207252 × 6371000     		du = 96.0896366091314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25076687)-sin(1.25075179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314594521912658-0.314608836207252)×R²
    abs(-0.05057343--0.05062137)×1.43142945944197e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.43142945944197e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.43142945944197e-05×40589641000000     		ar = 9231.57107165463m²