Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6448 / 6114
↖ ↑ ↗
← S 65.982270°
E103.359375°		 ← 1 988.90 m → S 65.982270°
E103.403320°		 →
↑
1 988.20 m
↓
↑
1 988.20 m
↓
S 66.000150°
E103.359375°		 ← 1 987.50 m →
3 952 937 m²		 S 66.000150°
E103.403320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78717041015625 y=0.74639892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78717041015625 × 213)
    floor (0.78717041015625 × 8192)
    floor (6448.5)     		tx = 6448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74639892578125 × 213)
    floor (0.74639892578125 × 8192)
    floor (6114.5)     		ty = 6114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6448 / 6114 ti = "13/6448/6114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6448/6114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6448 ÷ 213
    6448 ÷ 8192     		x = 0.787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6114 ÷ 213
    6114 ÷ 8192     		y = 0.746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.787109375 × 2 - 1) × π
    0.57421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.80396141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746337890625 × 2 - 1) × π
    -0.49267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54778661493237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.80396141} λ = 1.80396141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54778661493237))-π/2
    2×atan(0.212718280615652)-π/2
    2×0.209594233426382-π/2
    0.419188466852763-1.57079632675     		φ = -1.15160786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.80396141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15160786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.982270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6448 KachelY 6114 1.80396141 -1.15160786 103.359375 -65.982270
    Oben rechts KachelX + 1 6449 KachelY 6114 1.80472840 -1.15160786 103.403320 -65.982270
    Unten links KachelX 6448 KachelY + 1 6115 1.80396141 -1.15191993 103.359375 -66.000150
    Unten rechts KachelX + 1 6449 KachelY + 1 6115 1.80472840 -1.15191993 103.403320 -66.000150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15160786--1.15191993) × R
    0.000312070000000109 × 6371000     		dl = 1988.19797000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15160786--1.15191993) × R
    0.000312070000000109 × 6371000     		dr = 1988.19797000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.80396141-1.80472840) × cos(-1.15160786) × R
    0.000766989999999801 × 0.407019316873945 × 6371000     		do = 1988.8971608044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.80396141-1.80472840) × cos(-1.15191993) × R
    0.000766989999999801 × 0.406734246220035 × 6371000     		du = 1987.50416496689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15160786)-sin(-1.15191993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407019316873945-0.406734246220035)×R²
    abs(1.80472840-1.80396141)×0.000285070653910091×R²
    0.000766989999999801×0.000285070653910091×6371000²
    0.000766989999999801×0.000285070653910091×40589641000000     		ar = 3952936.55398444m²