Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64478 / 27618
↖ ↑ ↗
← N 71.551002°
W  2.905884°		 ← 96.66 m → N 71.551002°
W  2.903137°		 →
↑
96.65 m
↓
↑
96.65 m
↓
N 71.550133°
W  2.905884°		 ← 96.66 m →
9 342 m²		 N 71.550133°
W  2.903137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491931915283203 y=0.210712432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491931915283203 × 217)
    floor (0.491931915283203 × 131072)
    floor (64478.5)     		tx = 64478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210712432861328 × 217)
    floor (0.210712432861328 × 131072)
    floor (27618.5)     		ty = 27618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64478 / 27618 ti = "17/64478/27618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64478/27618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64478 ÷ 217
    64478 ÷ 131072     		x = 0.491928100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27618 ÷ 217
    27618 ÷ 131072     		y = 0.210708618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491928100585938 × 2 - 1) × π
    -0.016143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05071724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210708618164062 × 2 - 1) × π
    0.578582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81767135979329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05071724} λ = -0.05071724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81767135979329))-π/2
    2×atan(6.15750313281816)-π/2
    2×1.40979845054634-π/2
    2.81959690109268-1.57079632675     		φ = 1.24880057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05071724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.905884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24880057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.551002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64478 KachelY 27618 -0.05071724 1.24880057 -2.905884 71.551002
    Oben rechts KachelX + 1 64479 KachelY 27618 -0.05066930 1.24880057 -2.903137 71.551002
    Unten links KachelX 64478 KachelY + 1 27619 -0.05071724 1.24878540 -2.905884 71.550133
    Unten rechts KachelX + 1 64479 KachelY + 1 27619 -0.05066930 1.24878540 -2.903137 71.550133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24880057-1.24878540) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dl = 96.6480699997023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24880057-1.24878540) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dr = 96.6480699997023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05071724--0.05066930) × cos(1.24880057) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.3164603759279 × 6371000     		do = 96.6551444984495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05071724--0.05066930) × cos(1.24878540) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.316474766240406 × 6371000     		du = 96.6595396702955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24880057)-sin(1.24878540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3164603759279-0.316474766240406)×R²
    abs(-0.05066930--0.05071724)×1.43903125059963e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.43903125059963e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.43903125059963e-05×40589641000000     		ar = 9341.74556394548m²