Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64474 / 27617
↖ ↑ ↗
← N 71.551871°
W  2.916870°		 ← 96.65 m → N 71.551871°
W  2.914124°		 →
↑
96.65 m
↓
↑
96.65 m
↓
N 71.551002°
W  2.916870°		 ← 96.66 m →
9 341 m²		 N 71.551002°
W  2.914124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491901397705078 y=0.210704803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491901397705078 × 217)
    floor (0.491901397705078 × 131072)
    floor (64474.5)     		tx = 64474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210704803466797 × 217)
    floor (0.210704803466797 × 131072)
    floor (27617.5)     		ty = 27617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64474 / 27617 ti = "17/64474/27617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64474/27617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64474 ÷ 217
    64474 ÷ 131072     		x = 0.491897583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27617 ÷ 217
    27617 ÷ 131072     		y = 0.210700988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491897583007812 × 2 - 1) × π
    -0.016204833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.05090899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210700988769531 × 2 - 1) × π
    0.578598022460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.81771929669291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05090899} λ = -0.05090899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81771929669291))-π/2
    2×atan(6.15779831150267)-π/2
    2×1.40980603543842-π/2
    2.81961207087685-1.57079632675     		φ = 1.24881574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05090899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.916870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24881574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.551871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64474 KachelY 27617 -0.05090899 1.24881574 -2.916870 71.551871
    Oben rechts KachelX + 1 64475 KachelY 27617 -0.05086105 1.24881574 -2.914124 71.551871
    Unten links KachelX 64474 KachelY + 1 27618 -0.05090899 1.24880057 -2.916870 71.551002
    Unten rechts KachelX + 1 64475 KachelY + 1 27618 -0.05086105 1.24880057 -2.914124 71.551002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24881574-1.24880057) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dl = 96.6480699997023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24881574-1.24880057) × R
    1.51699999999533e-05 × 6371000     		dr = 96.6480699997023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05090899--0.05086105) × cos(1.24881574) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.316445985542567 × 6371000     		do = 96.6507493043744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05090899--0.05086105) × cos(1.24880057) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.3164603759279 × 6371000     		du = 96.6551444984635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24881574)-sin(1.24880057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316445985542567-0.3164603759279)×R²
    abs(-0.05086105--0.05090899)×1.43903853326854e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.43903853326854e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.43903853326854e-05×40589641000000     		ar = 9341.32077798422m²