Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64470 / 27598
↖ ↑ ↗
← N 71.568378°
W  2.927856°		 ← 96.55 m → N 71.568378°
W  2.925110°		 →
↑
96.58 m
↓
↑
96.58 m
↓
N 71.567510°
W  2.927856°		 ← 96.55 m →
9 325 m²		 N 71.567510°
W  2.925110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491870880126953 y=0.210559844970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491870880126953 × 217)
    floor (0.491870880126953 × 131072)
    floor (64470.5)     		tx = 64470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210559844970703 × 217)
    floor (0.210559844970703 × 131072)
    floor (27598.5)     		ty = 27598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64470 / 27598 ti = "17/64470/27598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64470/27598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64470 ÷ 217
    64470 ÷ 131072     		x = 0.491867065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27598 ÷ 217
    27598 ÷ 131072     		y = 0.210556030273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491867065429688 × 2 - 1) × π
    -0.016265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05110073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210556030273438 × 2 - 1) × π
    0.578887939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81863009778569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05110073} λ = -0.05110073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81863009778569))-π/2
    2×atan(6.16340939583689)-π/2
    2×1.40995008287226-π/2
    2.81990016574451-1.57079632675     		φ = 1.24910384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05110073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.927856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24910384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.568378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64470 KachelY 27598 -0.05110073 1.24910384 -2.927856 71.568378
    Oben rechts KachelX + 1 64471 KachelY 27598 -0.05105280 1.24910384 -2.925110 71.568378
    Unten links KachelX 64470 KachelY + 1 27599 -0.05110073 1.24908868 -2.927856 71.567510
    Unten rechts KachelX + 1 64471 KachelY + 1 27599 -0.05105280 1.24908868 -2.925110 71.567510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24910384-1.24908868) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dl = 96.5843600000895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24910384-1.24908868) × R
    1.51600000000141e-05 × 6371000     		dr = 96.5843600000895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05110073--0.05105280) × cos(1.24910384) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.316172677719799 × 6371000     		do = 96.5471306990429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05110073--0.05105280) × cos(1.24908868) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.316187060000617 × 6371000     		du = 96.5515225015095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24910384)-sin(1.24908868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316172677719799-0.316187060000617)×R²
    abs(-0.05105280--0.05110073)×1.43822808181815e-05×R²
    4.79299999999946e-05×1.43822808181815e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×1.43822808181815e-05×40589641000000     		ar = 9325.15491831467m²