Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64469 / 75551
↖ ↑ ↗
← S 26.507447°
W  2.930603°		 ← 273.32 m → S 26.507447°
W  2.927856°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
S 26.509905°
W  2.930603°		 ← 273.31 m →
74 701 m²		 S 26.509905°
W  2.927856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491863250732422 y=0.576412200927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491863250732422 × 217)
    floor (0.491863250732422 × 131072)
    floor (64469.5)     		tx = 64469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576412200927734 × 217)
    floor (0.576412200927734 × 131072)
    floor (75551.5)     		ty = 75551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64469 / 75551 ti = "17/64469/75551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64469/75551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64469 ÷ 217
    64469 ÷ 131072     		x = 0.491859436035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75551 ÷ 217
    75551 ÷ 131072     		y = 0.576408386230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491859436035156 × 2 - 1) × π
    -0.0162811279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05114867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576408386230469 × 2 - 1) × π
    -0.152816772460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.480088049694862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05114867} λ = -0.05114867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480088049694862))-π/2
    2×atan(0.618728910515872)-π/2
    2×0.554077052742034-π/2
    1.10815410548407-1.57079632675     		φ = -0.46264222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05114867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.930603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46264222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.507447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64469 KachelY 75551 -0.05114867 -0.46264222 -2.930603 -26.507447
    Oben rechts KachelX + 1 64470 KachelY 75551 -0.05110073 -0.46264222 -2.927856 -26.507447
    Unten links KachelX 64469 KachelY + 1 75552 -0.05114867 -0.46268512 -2.930603 -26.509905
    Unten rechts KachelX + 1 64470 KachelY + 1 75552 -0.05110073 -0.46268512 -2.927856 -26.509905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46264222--0.46268512) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dl = 273.315900000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46264222--0.46268512) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dr = 273.315900000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05114867--0.05110073) × cos(-0.46264222) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.894876362507481 × 6371000     		do = 273.318275227374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05114867--0.05110073) × cos(-0.46268512) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.894857214808168 × 6371000     		du = 273.312427027142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46264222)-sin(-0.46268512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894876362507481-0.894857214808168)×R²
    abs(-0.05110073--0.05114867)×1.91476993134376e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.91476993134376e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.91476993134376e-05×40589641000000     		ar = 74701.4311885836m²