Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64467 / 75555
↖ ↑ ↗
← S 26.517277°
W  2.936096°		 ← 273.29 m → S 26.517277°
W  2.933350°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
S 26.519735°
W  2.936096°		 ← 273.29 m →
74 695 m²		 S 26.519735°
W  2.933350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491847991943359 y=0.576442718505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491847991943359 × 217)
    floor (0.491847991943359 × 131072)
    floor (64467.5)     		tx = 64467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576442718505859 × 217)
    floor (0.576442718505859 × 131072)
    floor (75555.5)     		ty = 75555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64467 / 75555 ti = "17/64467/75555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64467/75555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64467 ÷ 217
    64467 ÷ 131072     		x = 0.491844177246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75555 ÷ 217
    75555 ÷ 131072     		y = 0.576438903808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491844177246094 × 2 - 1) × π
    -0.0163116455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05124455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576438903808594 × 2 - 1) × π
    -0.152877807617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.480279797293343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05124455} λ = -0.05124455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480279797293343))-π/2
    2×atan(0.61861028210689)-π/2
    2×0.553991261216845-π/2
    1.10798252243369-1.57079632675     		φ = -0.46281380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05124455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.936096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46281380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.517277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64467 KachelY 75555 -0.05124455 -0.46281380 -2.936096 -26.517277
    Oben rechts KachelX + 1 64468 KachelY 75555 -0.05119661 -0.46281380 -2.933350 -26.517277
    Unten links KachelX 64467 KachelY + 1 75556 -0.05124455 -0.46285670 -2.936096 -26.519735
    Unten rechts KachelX + 1 64468 KachelY + 1 75556 -0.05119661 -0.46285670 -2.933350 -26.519735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46281380--0.46285670) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dl = 273.315900000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46281380--0.46285670) × R
    4.29000000000124e-05 × 6371000     		dr = 273.315900000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05124455--0.05119661) × cos(-0.46281380) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.894799770758297 × 6371000     		do = 273.294882135702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05124455--0.05119661) × cos(-0.46285670) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.894780616472346 × 6371000     		du = 273.289031923741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46281380)-sin(-0.46285670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894799770758297-0.894780616472346)×R²
    abs(-0.05119661--0.05124455)×1.91542859508953e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.91542859508953e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.91542859508953e-05×40589641000000     		ar = 74695.0372097905m²