Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64463 / 75472
↖ ↑ ↗
← S 26.313113°
W  2.947082°		 ← 273.72 m → S 26.313113°
W  2.944336°		 →
↑
273.76 m
↓
↑
273.76 m
↓
S 26.315575°
W  2.947082°		 ← 273.72 m →
74 934 m²		 S 26.315575°
W  2.944336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491817474365234 y=0.575809478759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491817474365234 × 217)
    floor (0.491817474365234 × 131072)
    floor (64463.5)     		tx = 64463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575809478759766 × 217)
    floor (0.575809478759766 × 131072)
    floor (75472.5)     		ty = 75472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64463 / 75472 ti = "17/64463/75472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64463/75472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64463 ÷ 217
    64463 ÷ 131072     		x = 0.491813659667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75472 ÷ 217
    75472 ÷ 131072     		y = 0.5758056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491813659667969 × 2 - 1) × π
    -0.0163726806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05143629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5758056640625 × 2 - 1) × π
    -0.151611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.476301034624878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05143629} λ = -0.05143629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.476301034624878))-π/2
    2×atan(0.62107648857533)-π/2
    2×0.555772937415704-π/2
    1.11154587483141-1.57079632675     		φ = -0.45925045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05143629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.947082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45925045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.313113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64463 KachelY 75472 -0.05143629 -0.45925045 -2.947082 -26.313113
    Oben rechts KachelX + 1 64464 KachelY 75472 -0.05138836 -0.45925045 -2.944336 -26.313113
    Unten links KachelX 64463 KachelY + 1 75473 -0.05143629 -0.45929342 -2.947082 -26.315575
    Unten rechts KachelX + 1 64464 KachelY + 1 75473 -0.05138836 -0.45929342 -2.944336 -26.315575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45925045--0.45929342) × R
    4.2970000000031e-05 × 6371000     		dl = 273.761870000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45925045--0.45929342) × R
    4.2970000000031e-05 × 6371000     		dr = 273.761870000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05143629--0.05138836) × cos(-0.45925045) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.896385007085516 × 6371000     		do = 273.721945425207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05143629--0.05138836) × cos(-0.45929342) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.896365958673375 × 6371000     		du = 273.716128763407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45925045)-sin(-0.45929342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896385007085516-0.896365958673375)×R²
    abs(-0.05138836--0.05143629)×1.9048412141065e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.9048412141065e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.9048412141065e-05×40589641000000     		ar = 74933.8354611933m²