Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64452 / 75525
↖ ↑ ↗
← S 26.443525°
W  2.977295°		 ← 273.47 m → S 26.443525°
W  2.974548°		 →
↑
273.44 m
↓
↑
273.44 m
↓
S 26.445984°
W  2.977295°		 ← 273.46 m →
74 778 m²		 S 26.445984°
W  2.974548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491733551025391 y=0.576213836669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491733551025391 × 217)
    floor (0.491733551025391 × 131072)
    floor (64452.5)     		tx = 64452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576213836669922 × 217)
    floor (0.576213836669922 × 131072)
    floor (75525.5)     		ty = 75525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64452 / 75525 ti = "17/64452/75525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64452/75525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64452 ÷ 217
    64452 ÷ 131072     		x = 0.491729736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75525 ÷ 217
    75525 ÷ 131072     		y = 0.576210021972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.01654052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.05196360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576210021972656 × 2 - 1) × π
    -0.152420043945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.478841690304741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05196360} λ = -0.05196360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.478841690304741))-π/2
    2×atan(0.619500549873523)-π/2
    2×0.554634876540029-π/2
    1.10926975308006-1.57079632675     		φ = -0.46152657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05196360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.977295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46152657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.443525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64452 KachelY 75525 -0.05196360 -0.46152657 -2.977295 -26.443525
    Oben rechts KachelX + 1 64453 KachelY 75525 -0.05191566 -0.46152657 -2.974548 -26.443525
    Unten links KachelX 64452 KachelY + 1 75526 -0.05196360 -0.46156949 -2.977295 -26.445984
    Unten rechts KachelX + 1 64453 KachelY + 1 75526 -0.05191566 -0.46156949 -2.974548 -26.445984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46152657--0.46156949) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dl = 273.443320000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46152657--0.46156949) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dr = 273.443320000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05196360--0.05191566) × cos(-0.46152657) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.895373735839782 × 6371000     		do = 273.470185845409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05196360--0.05191566) × cos(-0.46156949) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.895354622074862 × 6371000     		du = 273.464348009614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46152657)-sin(-0.46156949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895373735839782-0.895354622074862)×R²
    abs(-0.05191566--0.05196360)×1.91137649200313e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.91137649200313e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.91137649200313e-05×40589641000000     		ar = 74777.7973914151m²