Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64450 / 77586
↖ ↑ ↗
← S 31.395846°
W  2.982788°		 ← 260.65 m → S 31.395846°
W  2.980042°		 →
↑
260.70 m
↓
↑
260.70 m
↓
S 31.398191°
W  2.982788°		 ← 260.65 m →
67 952 m²		 S 31.398191°
W  2.980042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491718292236328 y=0.591938018798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491718292236328 × 217)
    floor (0.491718292236328 × 131072)
    floor (64450.5)     		tx = 64450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591938018798828 × 217)
    floor (0.591938018798828 × 131072)
    floor (77586.5)     		ty = 77586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64450 / 77586 ti = "17/64450/77586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64450/77586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64450 ÷ 217
    64450 ÷ 131072     		x = 0.491714477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77586 ÷ 217
    77586 ÷ 131072     		y = 0.591934204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491714477539062 × 2 - 1) × π
    -0.016571044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05205947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591934204101562 × 2 - 1) × π
    -0.183868408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.577639640421677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05205947} λ = -0.05205947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.577639640421677))-π/2
    2×atan(0.561221488945812)-π/2
    2×0.511417716600644-π/2
    1.02283543320129-1.57079632675     		φ = -0.54796089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05205947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.982788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54796089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.395846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64450 KachelY 77586 -0.05205947 -0.54796089 -2.982788 -31.395846
    Oben rechts KachelX + 1 64451 KachelY 77586 -0.05201154 -0.54796089 -2.980042 -31.395846
    Unten links KachelX 64450 KachelY + 1 77587 -0.05205947 -0.54800181 -2.982788 -31.398191
    Unten rechts KachelX + 1 64451 KachelY + 1 77587 -0.05201154 -0.54800181 -2.980042 -31.398191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54796089--0.54800181) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dl = 260.701319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54796089--0.54800181) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dr = 260.701319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05205947--0.05201154) × cos(-0.54796089) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.85358856569138 × 6371000     		do = 260.653537204279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05205947--0.05201154) × cos(-0.54800181) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.853567247794721 × 6371000     		du = 260.64702752808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54796089)-sin(-0.54800181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85358856569138-0.853567247794721)×R²
    abs(-0.05201154--0.05205947)×2.13178966581573e-05×R²
    4.79299999999946e-05×2.13178966581573e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.13178966581573e-05×40589641000000     		ar = 67951.8726807789m²