Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64446 / 75521
↖ ↑ ↗
← S 26.433687°
W  2.993774°		 ← 273.49 m → S 26.433687°
W  2.991028°		 →
↑
273.51 m
↓
↑
273.51 m
↓
S 26.436147°
W  2.993774°		 ← 273.49 m →
74 802 m²		 S 26.436147°
W  2.991028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491687774658203 y=0.576183319091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491687774658203 × 217)
    floor (0.491687774658203 × 131072)
    floor (64446.5)     		tx = 64446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576183319091797 × 217)
    floor (0.576183319091797 × 131072)
    floor (75521.5)     		ty = 75521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64446 / 75521 ti = "17/64446/75521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64446/75521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64446 ÷ 217
    64446 ÷ 131072     		x = 0.491683959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75521 ÷ 217
    75521 ÷ 131072     		y = 0.576179504394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491683959960938 × 2 - 1) × π
    -0.016632080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05225122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576179504394531 × 2 - 1) × π
    -0.152359008789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.478649942706261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05225122} λ = -0.05225122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.478649942706261))-π/2
    2×atan(0.619619349005579)-π/2
    2×0.554720723086331-π/2
    1.10944144617266-1.57079632675     		φ = -0.46135488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05225122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.993774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46135488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.433687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64446 KachelY 75521 -0.05225122 -0.46135488 -2.993774 -26.433687
    Oben rechts KachelX + 1 64447 KachelY 75521 -0.05220328 -0.46135488 -2.991028 -26.433687
    Unten links KachelX 64446 KachelY + 1 75522 -0.05225122 -0.46139781 -2.993774 -26.436147
    Unten rechts KachelX + 1 64447 KachelY + 1 75522 -0.05220328 -0.46139781 -2.991028 -26.436147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46135488--0.46139781) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dl = 273.507029999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46135488--0.46139781) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dr = 273.507029999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05225122--0.05220328) × cos(-0.46135488) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.895450178856812 × 6371000     		do = 273.493533510493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05225122--0.05220328) × cos(-0.46139781) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.895431067238052 × 6371000     		du = 273.48769633019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46135488)-sin(-0.46139781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895450178856812-0.895431067238052)×R²
    abs(-0.05220328--0.05225122)×1.91116187597817e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.91116187597817e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.91116187597817e-05×40589641000000     		ar = 74801.6058311952m²