Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64431 / 75530
↖ ↑ ↗
← S 26.455820°
W  3.034973°		 ← 273.38 m → S 26.455820°
W  3.032227°		 →
↑
273.44 m
↓
↑
273.44 m
↓
S 26.458279°
W  3.034973°		 ← 273.38 m →
74 754 m²		 S 26.458279°
W  3.032227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491573333740234 y=0.576251983642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491573333740234 × 217)
    floor (0.491573333740234 × 131072)
    floor (64431.5)     		tx = 64431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576251983642578 × 217)
    floor (0.576251983642578 × 131072)
    floor (75530.5)     		ty = 75530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64431 / 75530 ti = "17/64431/75530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64431/75530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64431 ÷ 217
    64431 ÷ 131072     		x = 0.491569519042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75530 ÷ 217
    75530 ÷ 131072     		y = 0.576248168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491569519042969 × 2 - 1) × π
    -0.0168609619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05297027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576248168945312 × 2 - 1) × π
    -0.152496337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.479081374802841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05297027} λ = -0.05297027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479081374802841))-π/2
    2×atan(0.61935208298847)-π/2
    2×0.55452757866514-π/2
    1.10905515733028-1.57079632675     		φ = -0.46174117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05297027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.034973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46174117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.455820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64431 KachelY 75530 -0.05297027 -0.46174117 -3.034973 -26.455820
    Oben rechts KachelX + 1 64432 KachelY 75530 -0.05292234 -0.46174117 -3.032227 -26.455820
    Unten links KachelX 64431 KachelY + 1 75531 -0.05297027 -0.46178409 -3.034973 -26.458279
    Unten rechts KachelX + 1 64432 KachelY + 1 75531 -0.05292234 -0.46178409 -3.032227 -26.458279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46174117--0.46178409) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dl = 273.443320000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46174117--0.46178409) × R
    4.29200000000018e-05 × 6371000     		dr = 273.443320000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05297027--0.05292234) × cos(-0.46174117) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.89527815052197 × 6371000     		do = 273.383953458043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05297027--0.05292234) × cos(-0.46178409) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.895259028510621 × 6371000     		du = 273.37811432184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46174117)-sin(-0.46178409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89527815052197-0.895259028510621)×R²
    abs(-0.05292234--0.05297027)×1.91220113497925e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.91220113497925e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.91220113497925e-05×40589641000000     		ar = 74754.2175434671m²