Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64429 / 75533
↖ ↑ ↗
← S 26.463197°
W  3.040466°		 ← 273.42 m → S 26.463197°
W  3.037720°		 →
↑
273.38 m
↓
↑
273.38 m
↓
S 26.465656°
W  3.040466°		 ← 273.42 m →
74 748 m²		 S 26.465656°
W  3.037720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491558074951172 y=0.576274871826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491558074951172 × 217)
    floor (0.491558074951172 × 131072)
    floor (64429.5)     		tx = 64429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576274871826172 × 217)
    floor (0.576274871826172 × 131072)
    floor (75533.5)     		ty = 75533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64429 / 75533 ti = "17/64429/75533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64429/75533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64429 ÷ 217
    64429 ÷ 131072     		x = 0.491554260253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75533 ÷ 217
    75533 ÷ 131072     		y = 0.576271057128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491554260253906 × 2 - 1) × π
    -0.0168914794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05306615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576271057128906 × 2 - 1) × π
    -0.152542114257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.479225185501701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05306615} λ = -0.05306615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479225185501701))-π/2
    2×atan(0.619263019936839)-π/2
    2×0.554463205439228-π/2
    1.10892641087846-1.57079632675     		φ = -0.46186992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05306615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.040466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46186992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.463197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64429 KachelY 75533 -0.05306615 -0.46186992 -3.040466 -26.463197
    Oben rechts KachelX + 1 64430 KachelY 75533 -0.05301821 -0.46186992 -3.037720 -26.463197
    Unten links KachelX 64429 KachelY + 1 75534 -0.05306615 -0.46191283 -3.040466 -26.465656
    Unten rechts KachelX + 1 64430 KachelY + 1 75534 -0.05301821 -0.46191283 -3.037720 -26.465656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46186992--0.46191283) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dl = 273.379610000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46186992--0.46191283) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dr = 273.379610000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05306615--0.05301821) × cos(-0.46186992) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.895220783996644 × 6371000     		do = 273.423470415534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05306615--0.05301821) × cos(-0.46191283) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.895201661494857 × 6371000     		du = 273.417629911275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46186992)-sin(-0.46191283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895220783996644-0.895201661494857)×R²
    abs(-0.05301821--0.05306615)×1.9122501787705e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.9122501787705e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.9122501787705e-05×40589641000000     		ar = 74747.6033811384m²