Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64416 / 77472
↖ ↑ ↗
← S 31.128199°
W  3.076172°		 ← 261.45 m → S 31.128199°
W  3.073425°		 →
↑
261.40 m
↓
↑
261.40 m
↓
S 31.130550°
W  3.076172°		 ← 261.44 m →
68 342 m²		 S 31.130550°
W  3.073425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491458892822266 y=0.591068267822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491458892822266 × 217)
    floor (0.491458892822266 × 131072)
    floor (64416.5)     		tx = 64416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591068267822266 × 217)
    floor (0.591068267822266 × 131072)
    floor (77472.5)     		ty = 77472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64416 / 77472 ti = "17/64416/77472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64416/77472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64416 ÷ 217
    64416 ÷ 131072     		x = 0.491455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77472 ÷ 217
    77472 ÷ 131072     		y = 0.591064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491455078125 × 2 - 1) × π
    -0.01708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.05368933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591064453125 × 2 - 1) × π
    -0.18212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.57217483386499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05368933} λ = -0.05368933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.57217483386499))-π/2
    2×atan(0.564296851294945)-π/2
    2×0.5137533794112-π/2
    1.0275067588224-1.57079632675     		φ = -0.54328957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05368933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.076172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54328957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.128199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64416 KachelY 77472 -0.05368933 -0.54328957 -3.076172 -31.128199
    Oben rechts KachelX + 1 64417 KachelY 77472 -0.05364139 -0.54328957 -3.073425 -31.128199
    Unten links KachelX 64416 KachelY + 1 77473 -0.05368933 -0.54333060 -3.076172 -31.130550
    Unten rechts KachelX + 1 64417 KachelY + 1 77473 -0.05364139 -0.54333060 -3.073425 -31.130550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54328957--0.54333060) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dl = 261.402129999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54328957--0.54333060) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dr = 261.402129999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05368933--0.05364139) × cos(-0.54328957) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.856012757335308 × 6371000     		do = 261.448329858595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05368933--0.05364139) × cos(-0.54333060) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.855991545963544 × 6371000     		du = 261.441851359677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54328957)-sin(-0.54333060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856012757335308-0.855991545963544)×R²
    abs(-0.05364139--0.05368933)×2.12113717649176e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.12113717649176e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.12113717649176e-05×40589641000000     		ar = 68342.3035729061m²