Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64403 / 27689
↖ ↑ ↗
← N 71.489190°
W  3.111878°		 ← 96.97 m → N 71.489190°
W  3.109131°		 →
↑
96.90 m
↓
↑
96.90 m
↓
N 71.488319°
W  3.111878°		 ← 96.97 m →
9 397 m²		 N 71.488319°
W  3.109131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491359710693359 y=0.211254119873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491359710693359 × 217)
    floor (0.491359710693359 × 131072)
    floor (64403.5)     		tx = 64403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211254119873047 × 217)
    floor (0.211254119873047 × 131072)
    floor (27689.5)     		ty = 27689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64403 / 27689 ti = "17/64403/27689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64403/27689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64403 ÷ 217
    64403 ÷ 131072     		x = 0.491355895996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27689 ÷ 217
    27689 ÷ 131072     		y = 0.211250305175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491355895996094 × 2 - 1) × π
    -0.0172882080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05431251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211250305175781 × 2 - 1) × π
    0.577499389648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.81426783992027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05431251} λ = -0.05431251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81426783992027))-π/2
    2×atan(6.13658157220725)-π/2
    2×1.40925904076818-π/2
    2.81851808153636-1.57079632675     		φ = 1.24772175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05431251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.111878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24772175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.489190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64403 KachelY 27689 -0.05431251 1.24772175 -3.111878 71.489190
    Oben rechts KachelX + 1 64404 KachelY 27689 -0.05426457 1.24772175 -3.109131 71.489190
    Unten links KachelX 64403 KachelY + 1 27690 -0.05431251 1.24770654 -3.111878 71.488319
    Unten rechts KachelX + 1 64404 KachelY + 1 27690 -0.05426457 1.24770654 -3.109131 71.488319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24772175-1.24770654) × R
    1.52099999999322e-05 × 6371000     		dl = 96.9029099995682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24772175-1.24770654) × R
    1.52099999999322e-05 × 6371000     		dr = 96.9029099995682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05431251--0.05426457) × cos(1.24772175) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.317483566406136 × 6371000     		do = 96.9676532074397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05431251--0.05426457) × cos(1.24770654) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.317497989461413 × 6371000     		du = 96.972058379771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24772175)-sin(1.24770654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317483566406136-0.317497989461413)×R²
    abs(-0.05426457--0.05431251)×1.4423055277768e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.4423055277768e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.4423055277768e-05×40589641000000     		ar = 9396.66120877883m²