Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6440 / 6247
↖ ↑ ↗
← S 68.253110°
E103.007812°		 ← 1 810.48 m → S 68.253110°
E103.051758°		 →
↑
1 809.87 m
↓
↑
1 809.87 m
↓
S 68.269387°
E103.007812°		 ← 1 809.19 m →
3 275 573 m²		 S 68.269387°
E103.051758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.78619384765625 y=0.76263427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.78619384765625 × 213)
    floor (0.78619384765625 × 8192)
    floor (6440.5)     		tx = 6440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76263427734375 × 213)
    floor (0.76263427734375 × 8192)
    floor (6247.5)     		ty = 6247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6440 / 6247 ti = "13/6440/6247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6440/6247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6440 ÷ 213
    6440 ÷ 8192     		x = 0.7861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6247 ÷ 213
    6247 ÷ 8192     		y = 0.7625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7861328125 × 2 - 1) × π
    0.572265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.79782548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.525146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64979633732385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79782548} λ = 1.79782548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64979633732385))-π/2
    2×atan(0.192089026002338)-π/2
    2×0.1897774114355-π/2
    0.379554822871-1.57079632675     		φ = -1.19124150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79782548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 103.007812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19124150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.253110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6440 KachelY 6247 1.79782548 -1.19124150 103.007812 -68.253110
    Oben rechts KachelX + 1 6441 KachelY 6247 1.79859247 -1.19124150 103.051758 -68.253110
    Unten links KachelX 6440 KachelY + 1 6248 1.79782548 -1.19152558 103.007812 -68.269387
    Unten rechts KachelX + 1 6441 KachelY + 1 6248 1.79859247 -1.19152558 103.051758 -68.269387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19124150--1.19152558) × R
    0.000284079999999909 × 6371000     		dl = 1809.87367999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19124150--1.19152558) × R
    0.000284079999999909 × 6371000     		dr = 1809.87367999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79782548-1.79859247) × cos(-1.19124150) × R
    0.000766990000000023 × 0.370507016059995 × 6371000     		do = 1810.48004787514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79782548-1.79859247) × cos(-1.19152558) × R
    0.000766990000000023 × 0.370243139181402 × 6371000     		du = 1809.19061527851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19124150)-sin(-1.19152558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370507016059995-0.370243139181402)×R²
    abs(1.79859247-1.79782548)×0.000263876878593083×R²
    0.000766990000000023×0.000263876878593083×6371000²
    0.000766990000000023×0.000263876878593083×40589641000000     		ar = 3275573.35378261m²