Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 644 / 149
↖ ↑ ↗
← N 77.692870°
E 46.406250°		 ← 8 332.53 m → N 77.692870°
E 46.757813°		 →
↑
8 357.54 m
↓
↑
8 357.54 m
↓
N 77.617709°
E 46.406250°		 ← 8 382.62 m →
69 848 773 m²		 N 77.617709°
E 46.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62939453125 y=0.14599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62939453125 × 210)
    floor (0.62939453125 × 1024)
    floor (644.5)     		tx = 644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14599609375 × 210)
    floor (0.14599609375 × 1024)
    floor (149.5)     		ty = 149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 644 / 149 ti = "10/644/149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/644/149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 644 ÷ 210
    644 ÷ 1024     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 149 ÷ 210
    149 ÷ 1024     		y = 0.1455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1455078125 × 2 - 1) × π
    0.708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22734010394629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22734010394629))-π/2
    2×atan(9.27516227174414)-π/2
    2×1.46339635973844-π/2
    2.92679271947688-1.57079632675     		φ = 1.35599639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35599639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.692870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 644 KachelY 149 0.80994186 1.35599639 46.406250 77.692870
    Oben rechts KachelX + 1 645 KachelY 149 0.81607778 1.35599639 46.757813 77.692870
    Unten links KachelX 644 KachelY + 1 150 0.80994186 1.35468458 46.406250 77.617709
    Unten rechts KachelX + 1 645 KachelY + 1 150 0.81607778 1.35468458 46.757813 77.617709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35599639-1.35468458) × R
    0.00131181000000002 × 6371000     		dl = 8357.54151000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35599639-1.35468458) × R
    0.00131181000000002 × 6371000     		dr = 8357.54151000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81607778) × cos(1.35599639) × R
    0.00613591999999996 × 0.213151967003705 × 6371000     		do = 8332.52525211119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81607778) × cos(1.35468458) × R
    0.00613591999999996 × 0.214433446605324 × 6371000     		du = 8382.62078390788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35599639)-sin(1.35468458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213151967003705-0.214433446605324)×R²
    abs(0.81607778-0.80994186)×0.00128147960161956×R²
    0.00613591999999996×0.00128147960161956×6371000²
    0.00613591999999996×0.00128147960161956×40589641000000     		ar = 69848773.4374439m²