Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64396 / 32380
↖ ↑ ↗
← N 66.934365°
W  3.131104°		 ← 119.66 m → N 66.934365°
W  3.128357°		 →
↑
119.65 m
↓
↑
119.65 m
↓
N 66.933289°
W  3.131104°		 ← 119.67 m →
14 317 m²		 N 66.933289°
W  3.128357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491306304931641 y=0.247043609619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491306304931641 × 217)
    floor (0.491306304931641 × 131072)
    floor (64396.5)     		tx = 64396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247043609619141 × 217)
    floor (0.247043609619141 × 131072)
    floor (32380.5)     		ty = 32380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64396 / 32380 ti = "17/64396/32380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64396/32380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64396 ÷ 217
    64396 ÷ 131072     		x = 0.491302490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32380 ÷ 217
    32380 ÷ 131072     		y = 0.247039794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.01739501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05464807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247039794921875 × 2 - 1) × π
    0.50592041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58939584380258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05464807} λ = -0.05464807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58939584380258))-π/2
    2×atan(4.90078719278652)-π/2
    2×1.36951068868806-π/2
    2.73902137737612-1.57079632675     		φ = 1.16822505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05464807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.131104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16822505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.934365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64396 KachelY 32380 -0.05464807 1.16822505 -3.131104 66.934365
    Oben rechts KachelX + 1 64397 KachelY 32380 -0.05460013 1.16822505 -3.128357 66.934365
    Unten links KachelX 64396 KachelY + 1 32381 -0.05464807 1.16820627 -3.131104 66.933289
    Unten rechts KachelX + 1 64397 KachelY + 1 32381 -0.05460013 1.16820627 -3.128357 66.933289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16822505-1.16820627) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dl = 119.647379999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16822505-1.16820627) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dr = 119.647379999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05464807--0.05460013) × cos(1.16822505) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.391785355147522 × 6371000     		do = 119.661332017103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05464807--0.05460013) × cos(1.16820627) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.391802633742281 × 6371000     		du = 119.666609344693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16822505)-sin(1.16820627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391785355147522-0.391802633742281)×R²
    abs(-0.05460013--0.05464807)×1.72785947589738e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.72785947589738e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.72785947589738e-05×40589641000000     		ar = 14317.4805729506m²