Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64388 / 27788
↖ ↑ ↗
← N 71.402669°
W  3.153076°		 ← 97.40 m → N 71.402669°
W  3.150329°		 →
↑
97.41 m
↓
↑
97.41 m
↓
N 71.401792°
W  3.153076°		 ← 97.41 m →
9 489 m²		 N 71.401792°
W  3.150329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491245269775391 y=0.212009429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491245269775391 × 217)
    floor (0.491245269775391 × 131072)
    floor (64388.5)     		tx = 64388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212009429931641 × 217)
    floor (0.212009429931641 × 131072)
    floor (27788.5)     		ty = 27788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64388 / 27788 ti = "17/64388/27788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64388/27788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64388 ÷ 217
    64388 ÷ 131072     		x = 0.491241455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27788 ÷ 217
    27788 ÷ 131072     		y = 0.212005615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491241455078125 × 2 - 1) × π
    -0.01751708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.05503156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212005615234375 × 2 - 1) × π
    0.57598876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.80952208685788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05503156} λ = -0.05503156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80952208685788))-π/2
    2×atan(6.10752786680342)-π/2
    2×1.40850399409512-π/2
    2.81700798819025-1.57079632675     		φ = 1.24621166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05503156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.153076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24621166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.402669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64388 KachelY 27788 -0.05503156 1.24621166 -3.153076 71.402669
    Oben rechts KachelX + 1 64389 KachelY 27788 -0.05498362 1.24621166 -3.150329 71.402669
    Unten links KachelX 64388 KachelY + 1 27789 -0.05503156 1.24619637 -3.153076 71.401792
    Unten rechts KachelX + 1 64389 KachelY + 1 27789 -0.05498362 1.24619637 -3.150329 71.401792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24621166-1.24619637) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dl = 97.4125899992999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24621166-1.24619637) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dr = 97.4125899992999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05503156--0.05498362) × cos(1.24621166) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.318915167514147 × 6371000     		do = 97.404901035239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05503156--0.05498362) × cos(1.24619637) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.318929659082978 × 6371000     		du = 97.4093271333728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24621166)-sin(1.24619637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318915167514147-0.318929659082978)×R²
    abs(-0.05498362--0.05503156)×1.44915688305436e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.44915688305436e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.44915688305436e-05×40589641000000     		ar = 9488.67926748007m²