Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64384 / 32348
↖ ↑ ↗
← N 66.968775°
W  3.164063°		 ← 119.49 m → N 66.968775°
W  3.161316°		 →
↑
119.52 m
↓
↑
119.52 m
↓
N 66.967700°
W  3.164063°		 ← 119.50 m →
14 282 m²		 N 66.967700°
W  3.161316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491214752197266 y=0.246799468994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491214752197266 × 217)
    floor (0.491214752197266 × 131072)
    floor (64384.5)     		tx = 64384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246799468994141 × 217)
    floor (0.246799468994141 × 131072)
    floor (32348.5)     		ty = 32348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64384 / 32348 ti = "17/64384/32348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64384/32348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64384 ÷ 217
    64384 ÷ 131072     		x = 0.4912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32348 ÷ 217
    32348 ÷ 131072     		y = 0.246795654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4912109375 × 2 - 1) × π
    -0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246795654296875 × 2 - 1) × π
    0.50640869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59092982459042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05522331} λ = -0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59092982459042))-π/2
    2×atan(4.90831067514896)-π/2
    2×1.36981097232107-π/2
    2.73962194464215-1.57079632675     		φ = 1.16882562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16882562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.968775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64384 KachelY 32348 -0.05522331 1.16882562 -3.164063 66.968775
    Oben rechts KachelX + 1 64385 KachelY 32348 -0.05517537 1.16882562 -3.161316 66.968775
    Unten links KachelX 64384 KachelY + 1 32349 -0.05522331 1.16880686 -3.164063 66.967700
    Unten rechts KachelX + 1 64385 KachelY + 1 32349 -0.05517537 1.16880686 -3.161316 66.967700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16882562-1.16880686) × R
    1.87600000001176e-05 × 6371000     		dl = 119.519960000749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16882562-1.16880686) × R
    1.87600000001176e-05 × 6371000     		dr = 119.519960000749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05522331--0.05517537) × cos(1.16882562) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.391232726104245 × 6371000     		do = 119.492544882597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05522331--0.05517537) × cos(1.16880686) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.391249990709128 × 6371000     		du = 119.497817937319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16882562)-sin(1.16880686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391232726104245-0.391249990709128)×R²
    abs(-0.05517537--0.05522331)×1.72646048828273e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.72646048828273e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.72646048828273e-05×40589641000000     		ar = 14282.0593027043m²