Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64380 / 75140
↖ ↑ ↗
← S 25.492868°
W  3.175049°		 ← 275.69 m → S 25.492868°
W  3.172302°		 →
↑
275.67 m
↓
↑
275.67 m
↓
S 25.495348°
W  3.175049°		 ← 275.68 m →
75 999 m²		 S 25.495348°
W  3.172302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491184234619141 y=0.573276519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491184234619141 × 217)
    floor (0.491184234619141 × 131072)
    floor (64380.5)     		tx = 64380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573276519775391 × 217)
    floor (0.573276519775391 × 131072)
    floor (75140.5)     		ty = 75140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64380 / 75140 ti = "17/64380/75140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64380/75140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64380 ÷ 217
    64380 ÷ 131072     		x = 0.491180419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75140 ÷ 217
    75140 ÷ 131072     		y = 0.573272705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491180419921875 × 2 - 1) × π
    -0.01763916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05541506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573272705078125 × 2 - 1) × π
    -0.14654541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.460385983951019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05541506} λ = -0.05541506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.460385983951019))-π/2
    2×atan(0.631040027170628)-π/2
    2×0.562930919848071-π/2
    1.12586183969614-1.57079632675     		φ = -0.44493449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05541506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.175049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44493449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.492868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64380 KachelY 75140 -0.05541506 -0.44493449 -3.175049 -25.492868
    Oben rechts KachelX + 1 64381 KachelY 75140 -0.05536712 -0.44493449 -3.172302 -25.492868
    Unten links KachelX 64380 KachelY + 1 75141 -0.05541506 -0.44497776 -3.175049 -25.495348
    Unten rechts KachelX + 1 64381 KachelY + 1 75141 -0.05536712 -0.44497776 -3.172302 -25.495348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44493449--0.44497776) × R
    4.32699999999842e-05 × 6371000     		dl = 275.673169999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44493449--0.44497776) × R
    4.32699999999842e-05 × 6371000     		dr = 275.673169999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05541506--0.05536712) × cos(-0.44493449) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.902638862755047 × 6371000     		do = 275.689142609737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05541506--0.05536712) × cos(-0.44497776) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.902620238556166 × 6371000     		du = 275.683454300012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44493449)-sin(-0.44497776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902638862755047-0.902620238556166)×R²
    abs(-0.05536712--0.05541506)×1.86241988808789e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.86241988808789e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.86241988808789e-05×40589641000000     		ar = 75999.3158324764m²