Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64380 / 27788
↖ ↑ ↗
← N 71.402669°
W  3.175049°		 ← 97.40 m → N 71.402669°
W  3.172302°		 →
↑
97.41 m
↓
↑
97.41 m
↓
N 71.401792°
W  3.175049°		 ← 97.41 m →
9 489 m²		 N 71.401792°
W  3.172302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491184234619141 y=0.212009429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491184234619141 × 217)
    floor (0.491184234619141 × 131072)
    floor (64380.5)     		tx = 64380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212009429931641 × 217)
    floor (0.212009429931641 × 131072)
    floor (27788.5)     		ty = 27788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64380 / 27788 ti = "17/64380/27788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64380/27788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64380 ÷ 217
    64380 ÷ 131072     		x = 0.491180419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27788 ÷ 217
    27788 ÷ 131072     		y = 0.212005615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491180419921875 × 2 - 1) × π
    -0.01763916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05541506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212005615234375 × 2 - 1) × π
    0.57598876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.80952208685788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05541506} λ = -0.05541506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80952208685788))-π/2
    2×atan(6.10752786680342)-π/2
    2×1.40850399409512-π/2
    2.81700798819025-1.57079632675     		φ = 1.24621166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05541506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.175049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24621166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.402669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64380 KachelY 27788 -0.05541506 1.24621166 -3.175049 71.402669
    Oben rechts KachelX + 1 64381 KachelY 27788 -0.05536712 1.24621166 -3.172302 71.402669
    Unten links KachelX 64380 KachelY + 1 27789 -0.05541506 1.24619637 -3.175049 71.401792
    Unten rechts KachelX + 1 64381 KachelY + 1 27789 -0.05536712 1.24619637 -3.172302 71.401792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24621166-1.24619637) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dl = 97.4125899992999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24621166-1.24619637) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dr = 97.4125899992999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05541506--0.05536712) × cos(1.24621166) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.318915167514147 × 6371000     		do = 97.404901035239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05541506--0.05536712) × cos(1.24619637) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.318929659082978 × 6371000     		du = 97.4093271333728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24621166)-sin(1.24619637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318915167514147-0.318929659082978)×R²
    abs(-0.05536712--0.05541506)×1.44915688305436e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.44915688305436e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.44915688305436e-05×40589641000000     		ar = 9488.67926748007m²