Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64372 / 75148
↖ ↑ ↗
← S 25.512700°
W  3.197021°		 ← 275.64 m → S 25.512700°
W  3.194275°		 →
↑
275.61 m
↓
↑
275.61 m
↓
S 25.515179°
W  3.197021°		 ← 275.64 m →
75 969 m²		 S 25.515179°
W  3.194275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491123199462891 y=0.573337554931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491123199462891 × 217)
    floor (0.491123199462891 × 131072)
    floor (64372.5)     		tx = 64372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573337554931641 × 217)
    floor (0.573337554931641 × 131072)
    floor (75148.5)     		ty = 75148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64372 / 75148 ti = "17/64372/75148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64372/75148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64372 ÷ 217
    64372 ÷ 131072     		x = 0.491119384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75148 ÷ 217
    75148 ÷ 131072     		y = 0.573333740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491119384765625 × 2 - 1) × π
    -0.01776123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05579855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573333740234375 × 2 - 1) × π
    -0.14666748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.46076947914798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05579855} λ = -0.05579855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.46076947914798))-π/2
    2×atan(0.630798072748263)-π/2
    2×0.562757855300111-π/2
    1.12551571060022-1.57079632675     		φ = -0.44528062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05579855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.197021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44528062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.512700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64372 KachelY 75148 -0.05579855 -0.44528062 -3.197021 -25.512700
    Oben rechts KachelX + 1 64373 KachelY 75148 -0.05575061 -0.44528062 -3.194275 -25.512700
    Unten links KachelX 64372 KachelY + 1 75149 -0.05579855 -0.44532388 -3.197021 -25.515179
    Unten rechts KachelX + 1 64373 KachelY + 1 75149 -0.05575061 -0.44532388 -3.194275 -25.515179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44528062--0.44532388) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dl = 275.609459999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44528062--0.44532388) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dr = 275.609459999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05579855--0.05575061) × cos(-0.44528062) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.902489834768143 × 6371000     		do = 275.643625626557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05579855--0.05575061) × cos(-0.44532388) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.902471201359156 × 6371000     		du = 275.637934503828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44528062)-sin(-0.44532388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902489834768143-0.902471201359156)×R²
    abs(-0.05575061--0.05579855)×1.86334089864459e-05×R²
    4.79400000000033e-05×1.86334089864459e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×1.86334089864459e-05×40589641000000     		ar = 75969.2065595337m²