Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 64371 / 32349
↖ ↑ ↗
← N 66.967700°
W  3.199768°		 ← 119.50 m → N 66.967700°
W  3.197021°		 →
↑
119.46 m
↓
↑
119.46 m
↓
N 66.966626°
W  3.199768°		 ← 119.50 m →
14 275 m²		 N 66.966626°
W  3.197021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491115570068359 y=0.246807098388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491115570068359 × 217)
    floor (0.491115570068359 × 131072)
    floor (64371.5)     		tx = 64371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246807098388672 × 217)
    floor (0.246807098388672 × 131072)
    floor (32349.5)     		ty = 32349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64371 / 32349 ti = "17/64371/32349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64371/32349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64371 ÷ 217
    64371 ÷ 131072     		x = 0.491111755371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32349 ÷ 217
    32349 ÷ 131072     		y = 0.246803283691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491111755371094 × 2 - 1) × π
    -0.0177764892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05584649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246803283691406 × 2 - 1) × π
    0.506393432617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.5908818876908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05584649} λ = -0.05584649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5908818876908))-π/2
    2×atan(4.90807539159225)-π/2
    2×1.36980159487222-π/2
    2.73960318974444-1.57079632675     		φ = 1.16880686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05584649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.199768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16880686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.967700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64371 KachelY 32349 -0.05584649 1.16880686 -3.199768 66.967700
    Oben rechts KachelX + 1 64372 KachelY 32349 -0.05579855 1.16880686 -3.197021 66.967700
    Unten links KachelX 64371 KachelY + 1 32350 -0.05584649 1.16878811 -3.199768 66.966626
    Unten rechts KachelX + 1 64372 KachelY + 1 32350 -0.05579855 1.16878811 -3.197021 66.966626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16880686-1.16878811) × R
    1.87499999999563e-05 × 6371000     		dl = 119.456249999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16880686-1.16878811) × R
    1.87499999999563e-05 × 6371000     		dr = 119.456249999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05584649--0.05579855) × cos(1.16880686) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.391249990709128 × 6371000     		do = 119.497817937319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05584649--0.05579855) × cos(1.16878811) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.391267245973544 × 6371000     		du = 119.503088139222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16880686)-sin(1.16878811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391249990709128-0.391267245973544)×R²
    abs(-0.05579855--0.05584649)×1.72552644160939e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.72552644160939e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.72552644160939e-05×40589641000000     		ar = 14275.075993624m²