Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 64366 / 32350
↖ ↑ ↗
← N 66.966626°
W  3.213501°		 ← 119.48 m → N 66.966626°
W  3.210755°		 →
↑
119.52 m
↓
↑
119.52 m
↓
N 66.965551°
W  3.213501°		 ← 119.48 m →
14 280 m²		 N 66.965551°
W  3.210755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 64366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491077423095703 y=0.246814727783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491077423095703 × 217)
    floor (0.491077423095703 × 131072)
    floor (64366.5)     		tx = 64366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246814727783203 × 217)
    floor (0.246814727783203 × 131072)
    floor (32350.5)     		ty = 32350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 64366 / 32350 ti = "17/64366/32350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/64366/32350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 64366 ÷ 217
    64366 ÷ 131072     		x = 0.491073608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32350 ÷ 217
    32350 ÷ 131072     		y = 0.246810913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491073608398438 × 2 - 1) × π
    -0.017852783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05608617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246810913085938 × 2 - 1) × π
    0.506378173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.59083395079118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05608617} λ = -0.05608617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59083395079118))-π/2
    2×atan(4.90784011931404)-π/2
    2×1.36979221700967-π/2
    2.73958443401934-1.57079632675     		φ = 1.16878811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05608617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.213501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16878811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.966626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 64366 KachelY 32350 -0.05608617 1.16878811 -3.213501 66.966626
    Oben rechts KachelX + 1 64367 KachelY 32350 -0.05603824 1.16878811 -3.210755 66.966626
    Unten links KachelX 64366 KachelY + 1 32351 -0.05608617 1.16876935 -3.213501 66.965551
    Unten rechts KachelX + 1 64367 KachelY + 1 32351 -0.05603824 1.16876935 -3.210755 66.965551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16878811-1.16876935) × R
    1.87599999998955e-05 × 6371000     		dl = 119.519959999334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16878811-1.16876935) × R
    1.87599999998955e-05 × 6371000     		dr = 119.519959999334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05608617--0.05603824) × cos(1.16878811) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.391267245973544 × 6371000     		do = 119.478160502977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05608617--0.05603824) × cos(1.16876935) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.391284510303102 × 6371000     		du = 119.483432373698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16878811)-sin(1.16876935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391267245973544-0.391284510303102)×R²
    abs(-0.05603824--0.05608617)×1.7264329558786e-05×R²
    4.79299999999946e-05×1.7264329558786e-05×6371000²
    4.79299999999946e-05×1.7264329558786e-05×40589641000000     		ar = 14280.3400115458m²